Untergruppen einer Einheitengruppe

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DrHWI Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen einer Einheitengruppe
Meine Frage:
Hallihallo, Wink
ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
Bestimmen Sie alle Untergruppen der Einheitengruppe . Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Ordnungen der Elemente von

Meine Ideen:
Untergruppen usw. sind nun auch nicht unbedingt mein Problem (dachte ich), allerdings gibt mein Prof in seiner Lösung einen Weg an, den ich nicht verstehe. So zeigt er nämlich, dass der Erzeuger von allen anderen Elementen in ist, also von 1,2,4,5,6,7,8. Und sagt dann, dass dadurch gezeigt werden kann, dass isomorph zu ist mittels eines Isomorphismus, der auf abbildet.
Was für eine Art von Weg ist das? Kann mir hier jemand weiterhelfen? Gott

Edit(Nick): In die Algebra verschoben; mit Analysis hat das eher weniger zu tun. Augenzwinkern
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RE: Untergruppen einer Einheitengruppe
Er hat einen Erzeuger von angegeben. Damit ist eine zyklische Gruppe mit sechs Elementen.
Eine zyklische Gruppen mit n Elementen ist immer isomorph zu .
Also muss man sich nur noch um die Untergruppen der zyklischen Gruppe kümmern.
DrHWI Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort! smile
Also das 2 ein Erzeuger der Gruppe ist, verstehe ich. Was ich aber nicht verstehe, ist, warum dann die zyklische Gruppe sechs Elemente beinhaltet. Sind es nicht eigentlich sieben (1,2,4,5,6,7,8)? Oder zähle ich 2 nicht mehr mit, weil es ein Erzeuger ist? verwirrt

Edit: Ich glaube, der Groschen ist gerade gefallen. Weil ich bis zur sechsten Potenz von 2 alle Elemente der Gruppe erzeugen kann, ist meine Gruppe also isomorph zu . smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppen einer Einheitengruppe
Doch, die 2 zählst du natürlich wohl mit.

Aber die 6 ist keine Einheit in Z9.
DrHWI Auf diesen Beitrag antworten »

6 gehört nicht dazu? Weil 6 und 9 gemeinsame Teiler haben und 6 darum nicht invertierbar ist in der Gruppe ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Genauer: der ggT ist nicht 1.
 
 
DrHWI Auf diesen Beitrag antworten »

Super, mir ist ein Licht aufgegangen! Tanzen Vielen, vielen Dank für die Hilfe! smile Gott
DrHWI Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stecke nun leider doch noch fest. Wie kriege ich denn nun mithilfe dieses Wissens heraus, wie die Ordnungen meiner Elemente sind? verwirrt
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Habe nun auch dasselbe Problem, falls hier noch jemand eine Antwort dazu wüsste?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Vlt gibt es etwas clevereres, aber die Ordnung der Elemente in zu bestimmen, geht auch per Hand sehr schnell.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Das dauert ja nun wirklich nicht länger als eine Minute pro Gruppenelement.

Man kanns natürlich auch noch ein bisschen einschränken, da die Ordnung der Elemente auch die Ordnung der Gruppe (also 6) teilen muss. Da bleibt nicht mehr viel übrig, das ist ruckzuck für alle Gruppenelemente durchprobiert. Andererseits: Die paar Sekunden, die man braucht, um sich dies zu überlegen, reichen im Prinzip auch schon aus, um selbst diese Kandidaten auch noch eben durchzuprobieren. Big Laugh

Wie man das anders machen könnte, wüsste ich so ad hoc auch nicht ...
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist die Untergruppe von und damit 1. Ordnung, weil immer nur ergibt?
und 6. Ordnung.
und 3. Ordnung.
und 2. Ordnung?

Verstehe ich das nun richtig? Gott
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Passt. Ich hätte es - wie gesagt - nur mit dem Isomorphismus darauf verschoben zu untersuchen. Dann wäre
.

Dann muss man nicht so viel multiplizieren Augenzwinkern
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