Parameter für lineare Abhängigkeit bestimmen

20.01.2016, 16:07

OnFirE1337

Parameter für lineare Abhängigkeit bestimmen

Meine Frage:
Frage lautet : für welche $\begin{eqnarray*} t \in R \end{eqnarray*}$ sind folgende Vektoren linear abängig?

Es seien 3 Vektoren gegeben :

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} ;\vec{y} = \begin{pmatrix} 1 \\ t \\ \frac{11}{3} \end{pmatrix} ;\vec{z} = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ich weiss ja, dass diese Vektoren linear unabhängig sind wenn $\begin{eqnarray*} \lambda _{1} a_{1} + \lambda _{2} a_{2} + \lambda _{3} a_{3} = 0 \end{eqnarray*}$ wobei min einer ungleich null ist.

Daher habe ich die Matrix aufgestellt und den Gauß angewand:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 3 & t & -8 \\ 4 & \frac{11}{3} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und komme durch die Umstellung auf :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & \frac{3-t}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{74}{3} - 8t & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich Schwierigkeiten, denn ich weiß nicht genau wie genau ich fort fahren muss um die aufgabenstellung bezüglich t zu lösen.
In Zeile 3 steht ja effektiv :

$\begin{eqnarray*} (\frac{74}{3} - 8t )x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$ , also umgestellt nach t :

$\begin{eqnarray*} t = \frac{37}{12} \end{eqnarray*}$ aber wie gehts weiter?

vielen Dank im Vorraus!!!!

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

20.01.2016, 16:46

riwe

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RE: Für welche t element R sind folgende Vektoren linear abhängig?
wieso soll es denn noch weiter gehen verwirrt

20.01.2016, 16:57

HAL 9000

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Vielleicht ist es das Problem, dass die Sache gleich ziemlich ungenau los ging:

Zitat:

Original von OnFirE1337
Also ich weiss ja, dass diese Vektoren linear unabhängig sind wenn $\begin{eqnarray*} \lambda _{1} a_{1} + \lambda _{2} a_{2} + \lambda _{3} a_{3} = 0 \end{eqnarray*}$ wobei min einer ungleich null ist.

Eine ziemliche Verballhornung der richtigen Aussage

Zitat:

Die Vektoren $\begin{align*} a_1,a_2,a_3 \end{align*}$ sind linear unabhängig genau dann, wenn $\begin{align*} \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \lambda_3 a_3 = 0 \end{align*}$ nur für $\begin{align*} \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0 \end{align*}$ erfüllt ist.

Vielleicht meinst du aber auch (unter obiger Verwechslung von abhängig und unabhängig)

Zitat:

Die Vektoren $\begin{align*} a_1,a_2,a_3 \end{align*}$ sind linear abhängig genau dann, wenn $\begin{align*} \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \lambda_3 a_3 = 0 \end{align*}$ eine Lösung mit mindestens einem $\begin{align*} \lambda_k\neq 0 \end{align*}$ besitzt.

20.01.2016, 16:58

OnFirE1337

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ich weiß es auch nicht genau LOL,
ich dachte ich müsste jetzt noch evt für zeile 2 und 1 ausgehend von dem errechneten t noch weiter rechnen.

Kann ich also als Antwort sagen,dass diese Vektoren für t = $\begin{eqnarray*} \frac{37}{12} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind ?

20.01.2016, 17:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von OnFirE1337
Kann ich also als Antwort sagen,dass diese Vektoren für t = $\begin{eqnarray*} \frac{37}{12} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind ?

Dann war es wohl doch kein Schreibfehler: Du scheinst wirklich die beiden Begriffe "linear unabhängig" und "linear abhängig" zu verwechseln.

Mach dir nochmal genau die Unterschiede klar, vielleicht auch mit meinem letzten Beitrag (aber es gibt natürlich Quellen mit besser erklärender Erläuterung der beiden Begriffe).

20.01.2016, 17:52

OnFirE1337

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ok, ich versuche es mal erneut.

da ich ja die lineare ABhängigkeit für t errechnen muss, muss ich min ein $\begin{eqnarray*} \lambda _{k}a_{k} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ereugen können.

Sowie ich das verstehe reicht es also aus, wenn bereit in der 3. Zeile für $\begin{eqnarray*} x_{3} \neq 0 \end{eqnarray*}$ stehen würde, aber da

$\begin{eqnarray*} (\frac{74}{3} - 8t )x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$ immer 0 ist, ist es doch in der 3. zeile egal was für t eingesetzt wird. Also müsste ich ja anscheinend weiter machen in Zeile 2 und 1 bis ich ein $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ finde, dass ungleich 0 ist. Allerdings weiß ich nicht mehr was ich z.B in Zeile 2 dann für $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ einsetzen würde

$\begin{eqnarray*} (3-t)x_{2} -8x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$

Hab ich denn bisjetzt wenigstens den richtigen Ansatz??
vielen Dank nochmal soweit

21.01.2016, 00:18

mYthos

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Vergiss das jetzt, der Anfang war besser.
Dein Manko war dort allerdings, dass du die Definitionen für die lineare Abhängigkeit und die lineare Unabhängigkeit konsequent verwechselt hast!
Mit dem richtigen Ergebnis $\begin{eqnarray*} t = \frac {37} {12} \end{eqnarray*}$ hast du einfach Glück gehabt, darauf bist du nicht durch richtige Überlegungen gekommen.

Es ist nun zutreffend, dass bei linearer Abhängigkeit NICHT ALLE $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ Null sein dürfen.
Also gibt es mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda_k \end{eqnarray*}$ (NICHT: $\begin{eqnarray*} \lambda_k a_k \end{eqnarray*}$ !) ungleich Null.
Das von dir aufgestellte Gleichungssystem muss deswegen ausser der trivialen Lösung, die es immer hat (alle $\begin{eqnarray*} \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$ ), noch weitere (unendlich viele) nichttriviale Lösungen besitzen.
Das System muss daher abhängig sein, d.h. die Koeffizientenmatrix nach entsprechender Umformung mindestens eine Nullzeile enthalten.
In deiner Matrix ist dies nur möglich, wenn der Klammerausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{74} 3 - 8t \end{eqnarray*}$ zu Null wird, somit ergibt sich $\begin{eqnarray*} t = \frac {37} {12} \end{eqnarray*}$ .
------
Dazu kann man übrigens auch auf alternativen Wegen kommen.

- Erstens muss bei linearer Abhängigkeit die aus der Koeffizientenmatrix gebildete Determinante den Wert 0 haben, wodurch sofort der einzig mögliche t-Wert resultiert.

- Zweitens kann ein Gleichungssystem derart angesetzt werden, dass einer der Vektoren als Linearkombination der beiden anderen dargestellt wird:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 3t \\ 11 \end{pmatrix} = \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Dessen Lösung ist $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \frac{11} 4, \lambda_2 = \frac 1 4; t = \frac{37}{12} \end{eqnarray*}$

mY+

21.01.2016, 01:03

OnFirE1337

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das war sehr hilfreich vielen dank !

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