Eigenvektor einer Drehmatrix bestimmen

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Quexlaw Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor einer Drehmatrix bestimmen
Guten Tag, bin neu hier!

Ich lerne gerade für meine Klausur in linearer Algebra und stoße mich gerade an einer Aufgabe, bei der ich eine Drehmatrix habe und die Drehachse ausrechnen soll. Die Drehachse ist ja der Eigenvektor, also habe ich mich rangesetzt um den Eigenvektor auszurechnen. Bekannt ist auch, dass man (allgemein) zum Ausrechnen des Eigenvektors einer Drehmatrix den Eigenwert 1 nutzt (ist das so korrekt?).

Die gegebene Matrix ist die folgende:


Wenn ich da in der Formel zur Berechnung von Eigenvektoren den Eigenwert 1 und die Matrix übergebe, erhalte ich als Ergebnismatrix folgende:



Nun habe ich eine Gleichungssystem aufgestellt, erhalte aber nur Unsinn, wie man unschwer an der Matrix erkennen kann. In der ersten Zeile müsste gelten.
Das funktioniert aber offensichtlich mit der zweiten Gleichung nicht.

Wo ist mein Denkfehler? Ist der Eigenwert 1 falsch (habs aber so beigebracht bekommen)?

Liebe Grüße,

euer Neuling Quexlaw
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RE: Eigenvektor einer Drehmatrix bestimmen
Warum soll das nicht funktionieren?
Im übrigen erkennt man in D auch durch scharfes Hinschauen eine Drehmatrix zur Drehung um die z-Achse
Quexlaw Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor einer Drehmatrix bestimmen
Na, weil x1 in Abhängigkeit von x2 betragen muss.
(Wenn man die erste Gleichung nach x1 auflöst)
Wenn man also x2 aus dem Vektor rauszieht bekommt man den Vektor . Bei x3=0 bin ich mir nicht sicher, das könnte auch einfach beliebig sein. Aber wenn es beliebig wäre, müsste ja für x3=0 dennoch das richtige Ergebnis rauskommen. Die Lösung passt aber nicht mit der zweiten Gleichung zusammen. Wenn ich also x1 in die zweite Gleichung einsetze kommt da nicht 0 raus. Und wenn man diesen Vektor mit der Drehmatrix multipliziert sollte sich ja nichts ändern, ist ja die Drehachse. Aber ich bekomme da bei x2 vom Vektor -1 und nicht 1 raus. Also irgendwas scheine ich ja falsch zu machen?
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RE: Eigenvektor einer Drehmatrix bestimmen
Aus den beiden ersten Zeilen ergibt sich doch das GLS und . Jetzt löse die erste Gleichung nach auf und setze das in die zweite Gleichung ein.
Quexlaw Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor einer Drehmatrix bestimmen
Zitat:
Original von URL
Aus den beiden ersten Zeilen ergibt sich doch das GLS und . Jetzt löse die erste Gleichung nach auf und setze das in die zweite Gleichung ein.

In der zweiten Matrix die ich aufgeschrieben habe, der Ergebnismatrix zur Berechnung der Eigenvektoren, lautet die erste Gleichung doch . Die
Aus dieser Gleichung ergibt sich . Wenn man dieses x1 in die zweite Gleichung einsetzt erhält man . Also . Würde das dann bedeuten, dass x2=0 sein muss und da x1 von x2 abhängig ist ebenfalls 0 ist?
Und da man in keiner der drei Gleichungen eine Aussage über x3 machen kann ist x3 beliebig, also würde sich der Vektor (0,0,1)*x3 ergeben? Das wäre dann ja auch die z-Achse, was ja auch richtig ist glaube ich. Kann das wer bestätigen?

Die Gleichungen die du aufgeschrieben hast stammen doch aus der ursprünglichen Matrix. Aber so rechnet man Eigenvektoren doch gar nicht aus.

Da ich mit dem Eigenwert 1 rechne ziehe ich doch im Grunde genommen einmal die Einheitsmatrix von meiner Drehmatrix ab, weswegen sich nur die Diagonale der Drehmatrix ändert.Mit diesen neuen Gleichungen (die zweite Matrix die ich aufgeschrieben habe) lassen sich doch eigentlich die Eigenvektoren berechnen.
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RE: Eigenvektor einer Drehmatrix bestimmen
Du hast recht, das waren die falschen Gleichungen. ist trotzdem richtig und ja, x_3 ist beliebig.
 
 
Quexlaw Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor einer Drehmatrix bestimmen
Super, danke, dann hätte sich das wohl geklärt. smile

Mein Problem lag darin, dass ich nach der ersten Gleichung aufgehört habe zu rechnen.
Ich habe quasi nur die Abhängigkeit von x1 von x2 bestimmt und dies dann in einen Vektor gepackt, ohne tatsächlich auf einen fixen Wert zu achten. Blöder Fehler, sollte aber nicht mehr passieren.
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RE: Eigenvektor einer Drehmatrix bestimmen
Prima Freude
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