Für welchen Wert sind Vektoren linear abhängig?

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-rot Auf diesen Beitrag antworten »
Für welchen Wert sind Vektoren linear abhängig?
Meine Frage:
Hallo, komme da bei einer Aufgabe nicht so recht weiter.

Für welchen Wert t sind die Vektoren (1,1,-1,2), (-1,-2,2,-1) und (-1,-t,t,1) linear abhängig?

Meine Ideen:



Dann hab ich (1)-(2) gemacht.


Aber was ich weiter machen muss weiß ich nicht so recht. Hab einfach mal ausgerechnet: [ltex]-\beta+\gamma(1-t)=0. \ (6)[/latex] Und habe dann versucht zu machen um das noch wegfallen zu lassen. Dann kommt raus,

Aber das ist irgendwie Käse. Bei einem t soll laut Musterlösung 4 rauskommen.
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn's okay ist würde dir einen anderen Weg vorschlagen Wink

Kannst entweder beim Einsetzverfahren bleiben, oder Gauß anwenden (habe ich gemacht) und dann würde ich dir empfehlen, zu allererst zu bestimmen. Danach kannst du in aller Ruhe t ausrechnen.

Und es sticht ins Auge dass (2) + (3) eine Nullzeile ergibt und du damit 3 Gleichungen ohne t hast, und eine mit t.

Versuch's mal so Wink
-Rot Auf diesen Beitrag antworten »

Bin irgendwie ein hoffnungsloser Fall. unglücklich

Zuerst mal habe ich das Einsetzungsverfahren benutzt da mir das Gaußverfahren vorher noch nichts gesagt hat und ich trotz Tutorial mit der Unbekannten t nicht klarkomme. Aber auch das Einsetzungsverfahren scheitert irgendwie.

(1) hab ich umgestellt und erhalten:

Das eingesetzt in (4) ergibt:

Das in (1) eingesetzt ergibt . Und mit dieser Nullzeile kann ich auch nichts anfangen.

Hättest du noch einen Tipp?

Das ist im übrigen keine Pflichtübung, d.h. es ist nicht so dass du mir Arbeit abnimmst. Big Laugh
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Nullzeile heißt doch dass es völlig egal ist welche Werte alpha, beta etc haben, diese Bedingung ist immer erfüllt. Also könntest du einfacb sagen, alpha = 1. und über die anderen beiden Bedingungen rechnest du beta und gamma aus. Dann hast du alle 3 bestimmt und setzt dann in eine Gleichung mit t ein. 1 Gleichung und 1 Unbekannte ist dann machbar. Und vorher hast du ja nix mit t zu tun.

Aber warum hast du nicht einfach 2+3 gerechnet. Dann kommst du doch direkt auf die Nullzeile.
-Rot Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hab's mal versucht.

Zuerst habe ich (4)-(1) gemacht und habe erhalten: . Nun habe ich gesetzt (ob man das an dieser Stelle darf und nicht nur in der Ausgangsgleichung, da bin ich mir nicht sicher). Dann heißt es: . Schlussendlich in (1): .

jetzt in (2) ergibt:



Analog in die (3) eingesetzt und 4 rausbekommen. Somit wäre die Antwort, für den Wert t = 4 sind die o.g. Vektoren linear abhängig. Dass 4 und -4 rauskommen interpretiere ich so, dass im Vektor auch t und -t angegeben ist, sodass es für den Vektor heißt: .

Passt das so, oder gibt es noch was hinzuzufügen/zu ergänzen?
-Rot Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Vektor heißt es, habe aus versehen 2 mal geschrieben.
 
 
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann es jetzt gerade nicht nachrechnen. Aber dadurch das du einen Faktor frei wählst kriegst du ja auch nur eine Losung. Es existieren aber unendlich viele. Also durfte ob +4 oder -4 egal sein. Kannst ja am Ende zur Sicherheit eine Probe machen.
Du kriegst aber nur ein t raus. Auch wenn dort t und -t steht, heißt das nicht dass du 2 verschiedene t kriegst. Weil wenn t = 4 ist -t = -4 und nicht du kriegst raus t=4 und weil in der Formel noch -t steht auch -4. Stünde dort 2t und t wären die Losungen na auch nicht 4 und 8. Hoffe habe dich richtig verstanden smile
-Rot Auf diesen Beitrag antworten »

Ahso, verstehe. Ich habe jetzt mal die Probe gemacht. Die Probe geht auf, wenn ich für beide t (also für t in (2) und in (3)) die 4 einsetze. Heißt also, es können verschiedene Lösungen rauskommen, aber nur die stimmt, die bei der Probe ein richtiges Ergebnis liefert.
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt dazu gekommen nochmal nachzurechnen.

Mit der Probe ist es so, dass du damit vermeidest irgendwo einen Rechenfehler beim Umformen gemacht zu haben. Du willst das deine berechneten
auch stimmen. Hast du dich nicht verrechnet musst du auch nicht verifizieren dass t tatsächlich Lösung ist. So kannst du halt vermeiden dass du irgendwo falsch umgeformt hast. Weil dann erfüllen deine berechneten Lösungen nicht alle Gleichungen.

Angenommen du hast statt der richtigen Lösung.



dich verschrieben und hast



dann erhälst du für die Lösungen und

Hast ja alles artig ineinander eingesetz und was raus bekommen und denkst du bist fertig. Jetzt prüfst du nur ob du überhaupt richtig gerechnet indem du einsetzt

[attach]40605[/attach]

Geht nämlich nicht auf.

Du kannst dir ja entweder aussuchen und egal was du dir dafür aussuchst, kriegst du ja eine andere Lösung (aber immer mitdemselben t). Deswegen existieren insgesamt unendlich viele Lösungen.

[attach]40604[/attach]
-Rot Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe, danke für die ausführliche Beschreibung.

Hätte an dieser Stelle noch 1-2 allgemeine Fragen zu Aufgaben dieser Art, da es mir schwer fällt bei Aufgabenstellungen erstmal den richtigen Ansatz zu finden.

1. Es sind zwei Vektoren gegeben und man soll eine Bedingung für a, b und c angeben, sodass der Vektor eine Linearkombination von ist. Durch Berechnung kam raus .

Wenn in der Klausur also gefragt wird, dass man eine Bedingung angeben soll, in der ein Vektor (a,b,c) eine Linearkombination von zwei anderen Vektoren ist, dann soll man (i.d.R.) ein Gleichungssystem aufstellen und die Gleichung auf die Form bringen. Sollte jetzt eine Aufgabe kommen, stelle eine Bedingung auf, sodass der Vektor eine Linearkombination von u und v ist, dann muss man eine Gleichung der Form bringen. Wenn es hingegen heißt, für welches b dieser Vektor eine Linearkombination ist, dann muss man, so wie in der Aufgabe zuvor mit dem t, b rausfinden.

Und könntest du mir kurz anschaulich erklären, warum es die Form haben muss? Also warum mann die einzelnen Komponenten von einander abziehen muss um 0 zu erhalten. Wenn ich das anschaulich im Kopf habe, fallen mir vielleicht die Ansätze für andere Aufgaben leichter.
-Rot Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Die Gleichung muss man gleich 0 setzen, also
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe die erste Frage nicht. Dein Vektor (a,b,c) ist also ein beliebiger Vektor? Dann kannst du doch einfach willkürlich Vielfache von u,v addieren und sagen das Ergebnis soll dein Vektor (a,b,c) sein.
Alsonwas genau hast du mit deiner Berechnung denn nun gezeigt? Eigentlich nichts da ich a,b,c immer noch so wählen kann dass es passt?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

du machst es dir recht schwer. In allen Fällen muss der Vektor im Bildraum liegen , hier in der von aufgespannten Ebene. Das war es schon:



Wenn der Wunschvektor (a,b,c)^T sein soll, dann erzeugt das Lin. Gleichungssystem eine Relation in a, b ,c . Fertig Zahlen werden nicht verwendet.

uups ------> moody_ds
-Rot Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Aufgabe heißt: Geben sie eine Bedingung für a, b und c an, so dass eine Linearkombination von und ist. Laut Musterlösung kam raus, worauf ich durch Berechnung auch gekommen bin. Und meine Frage war halt auch, was das jetzt aussagen soll, denn ich will's nicht nur ausrechnen sondern auch verstehen können. Hammer
-Rot Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das richtig verstehe, muss man den allgemeinen Fall abdecken, denn (a,b,c) könnte auch linear unabhängig sein. Also nicht sondern und a, b und c ist dann kein beliebiger Vektor.

Wisst ihr was ich meine? So interpretier ich es zumindest.
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dein a,b,c Vektor ist ist die Bedingung einfach



Da ist nichts aus zurechnen.

Ja genau v3 ist nicht irgendein Vektor, aber eben jeder Vektor der die Bedingung erfüllt.
-Rot Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, verstehe. Und mit der Musterlösung kannst du nichts anfangen? Wenn das so ist, merke ich mir deinen Ansatz.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du doch deine Relation in a,b,c smile

Das sagt aus, dass alle Tripel a,b,c die die Relation erfüllen zur unendlichen Lösungsmenge gehören

Die Relation selbst stellt eine Ebene im a-b-c Raum dar.

Zahlenbeispiele gäbe es also mehr als genug.
-Rot Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke. Freude Brauche wohl noch mehr theoretisches Wissen und Übung mit Vektoren und Vektorräumen, damit ich sowas effektiv lösen kann.
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Dopap hat es mathematisch korrekter ausgedrückt. Viel mehr Theorie gehört aber schon fast auch nicht mehr dazu.
Um deine zweite Frage zu beantworten warum man die Vektoren subtrahiert: Das mag Präferenz von eurem Lehrer sein. Ich wurde eine Summe schreiben. Du berechnest ja die Koeffizienten Alpha, Beta, ... Ob einer davon nun +2 oder -2 ist, ist herzlich egal.
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