Determinante eines Matrizen-Terms einfacher berechnen?

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Gecko1993 Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante eines Matrizen-Terms einfacher berechnen?
Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich habe folgende Matrizen gegeben:




Ich soll die Determinante berechnen von:

Da wir ohne Taschenrechner rechnen müssen gehe ich also davon aus, dass dieser Term vereinfacht werden kann, weiß aber nicht genau wie.

Meine Ideen:
Ich weiß folgendes, womit ich bisher alle anderen Determinanten von Matrizentermen ausrechnen konnte:





Allerdings gilt ja leider


Deswegen bin ich mir nicht ganz sicher was das weitere Vorgehen angeht.

Die Determinanten der einzelnen Matrizen sind wie folgt:


Eine Überlegung wäre, dass die Determinante gleich 0 ist, da ja in jeder Multiplikation die Matrix C vorkommt, deren Determinante null ist, aber ich bin mir nicht sicher, ob dass gilt wegen

Bin für jede Hilfe dankbar
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RE: Determinante eines Matrizen-Terms einfacher berechnen?
Löse die transponierten Produkte, also z.B. auf, dann kannst du ausklammern.
Edit: Du bist zu Recht skeptisch, was das Auftreten einer singulären Matrix in jedem Summanden angeht. Das reicht nicht, um daraus zu schließen, dass die Determinante der Summe Null ist. Für

ist
Gecko1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Also ich kann trotz der Regel so umformen, dass in diesem Fall und ist?

Würde das dann so auflösen, dass folgendes erstmal übrig bleibt (Falls ich die Reihenfolge ändern darf):



Ist das soweit möglich?

Wie genau würde das mit dem ausklammern funktionieren? Eine gesamte Matrix ausklammern oder die Determinante der Matrix?
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Wie kommst du von meinem Vorschlag auf
Zitat:
Also ich kann trotz der Regel so umformen, dass in diesem Fall und ist?

Das ist mit Verlaub ziemlicher Unsinn, was du da schreibst. Ein Blick auf die Matrix zeigt doch, dass ist.
Die Reihenfolge ist bei Matrixprodukten sehr wohl von Belang! Einfach die Reihenfolge vertauschen ist in aller Regel falsch - so auch hier.

Wie könnte man denn den Term umformen?
Gecko1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich dachte ich könnte so umformen wie bei Determinanten ohne Addition. Soweit ich das verstanden habe ist ja



Womit ich bisher zum Beispiel im Falle des Terms gerechnet hatte, da ja durch das ganze so einfach aufgelöst werden konnte.

Wenn dem in diesem Fall nicht so ist und die normalen Matrizenregeln gelten, dann wäre

Dementsprechend der Term wenn ich alle Klammern auflöse

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Die normalen Matrizenregeln gelten und deswege ist im Allgemeinen böse
Richtig ist vielmehr
 
 
Gecko1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups sorry, Flüchtigkeitsfehler, vor lauter Müdigkeit nicht richtig nachgedacht.
Dementsprechend wäre das ganze dann:

Ausklammern mit Matrizen hatte ich bisher noch nicht gemacht, aber ich versuche mich mal dran, nur nicht köpfen wenn es falsch ist Hammer
Würde es dann wie folgt ausklammern


Falls das richtig sein sollte, könnte ich dann doch daraus machen, oder?
Könnte man das bzw. den ersten Schritt noch weiter vereinfachen?

Danke für deine Geduld und Entschuldigung, dass ich sie strapaziere. Hatte schon lange keine Matrizen mehr und mit Rechenregeln innerhalb einer Determinanten war ich bisher noch nicht vertraut
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Das sieht doch gleich viel besser aus Freude
Der zweite Faktor in dem Ausdruck enthält wieder ein Produkt von Matrizen....
Und dann noch det(C) benutzen...
Gecko1993 Auf diesen Beitrag antworten »



Wäre dementsprechend die am vereinfachste Lösung?
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Ich sehe zumindest keine weitere Vereinfachung. Für die Berechnung der gesuchten Determinante ist sie auch vollkommen ausreichend.
Gecko1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen Dank für deine Hilfe! Wird mir in der Klausur potentiell einiges an Zeit einsparen, Matrizen brauchen immer so ewig zum aufschreiben :P

Wünsch dir noch nen schönen Tag Wink
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Danke. Auch so Wink
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