Existenz Fixpunkt beweisen

25.01.2016, 16:31	Lubela	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz Fixpunkt beweisen Meine Frage: Hallo zusammen habe folgendes Problem und suche dringend Rat: Es soll bewiesen werden, dass o(x):= $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\left(x^{3} + 2\right) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \left[-1;1\right] \end{eqnarray}$ einen Fixpunkt x* besitzt und dass die Folge(xn), definiert durch xn+1:= o(xn), n E N0 für jeden Startwert x0 E [-1,1] gegen x* konvergiert. (o(xn) soll hier phi(xn) bedeuten) Meine Ideen: Habe es mit dem Vorausetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes versucht, aber bin daran gescheitert dass o(x) keine kontrahierende Abbildung ist, da I o'(x) I = $\begin{eqnarray} x^{2} \leq 1 = 1 \end{eqnarray}$ Liege ich hier falsch oder was habe ich übersehen? Danke im voraus
25.01.2016, 16:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz Fixpunkt beweisen Es ist tatsächlich keine Kontraktion. Aber man kann den Fixpunkt leicht direkt angeben. Dann kann man per Hand zeigen, dass die rekursiv definierte Folge konvergiert, und deren Grenzwert bestimmen.
25.01.2016, 16:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Z.B. kann man es mit dem "klassischen" Weg versuchen: monoton + beschränkt -> Konvergenz Vielleicht klappt es ja.
25.01.2016, 17:44	Lubeal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz Fixpunkt beweisen Monotonie mit Hilfe des MWS: G $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ [-1,1] a, b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ G mit a<b, dann gibt es ein x0 $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ G mit o'(x0) = $\begin{eqnarray} \frac{o(b) - o(a)}{b-a} \end{eqnarray}$ = 2/3 > 0 und somit monoton wachsend Zur Beschränktheit wüsste ich nicht was ich dazu schreiben könnte, da es mir doch sehr trivial erscheint. somit folgt konvergenz: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1} o(x) \end{eqnarray}$ = 1
25.01.2016, 17:48	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz Fixpunkt beweisen Irgendwie ist das mit der Ableitung ziemlich in die Hose gegangen. Und $\begin{eqnarray} \lim_{x\to1} o(x)=1 \end{eqnarray}$ folgt aus der Stetigkeit von $\begin{eqnarray} o \end{eqnarray}$ . Du sollst ja auch nicht $\begin{eqnarray} o \end{eqnarray}$ direkt untersuchen, sondern $\begin{eqnarray} x_{n+1} = o(x_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_0 \in [-1,1] \end{eqnarray}$ als Startwert.

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