Gleichungssysteme mit Koeffizienten aus IR bestimmen

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Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssysteme mit Koeffizienten aus IR bestimmen
Meine Frage:
Hallo liebe Community,
ich soll folgendes Gleichungssystem mit Koeffizienten aus IR bestimmen:

4*b + 3*c + d + 5*e = 1
a + 3*b + 2*c + 4*d + 2*e = 1
3*a + b + 2*c + d = 1
2*a + 2*b + 3*c - 2*d + 3*e = 1


Meine Ideen:
Also ich habe jetzt einfach das LGS in eine Matrix gepackt und dann nach dem Gaußverfahren versucht die Variablen aufzulösen.
Leider bin ich mir bei meiner Lösung nicht ganz sicher, weil 3 Variablen übrig bleiben. So müsste ich ja eine Variable gleich null setzen und für die zweite eine neue Unbekannte setzen um dann die dritte rauszubekommen. Kann das richtig sein? Oder muss ich erst die Transonierte bilden ?

Wäre über jede Hilfe sehr dankbar.
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Setze die Variablen die weg fallen gleich s und t. Die Ebene die du als Lösung erhälst enthält alle Lösungen.
Das Gleichungssystem ist unter bestimmt.
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Variablen soll ich den gleich s und t setzen? Oder ist das egal?

Komme zu folgender Gleichung nach dem Gaußverfahren:

a + 3b + 2c + 4d + 2e = 1
......4b + 3c + 1d + 5e = 1
..............2c - 9d + 4e = 0

Die letzte Gleichung fällt weg, da alles gleich 0 ist.

Kann ich dann einfach e=s und d=t setzen?
Dann bekäme ich ja für c= (9/2)*t-2*s raus
und das könnte ich ja dann wieder für a und b einsetzen.
Ist das so richtig?
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann leider gerade nicht nachrechnen, aber da du ja schon eine Gleichung weniger hast, kannst du das als Nullzeile interpretieren, und wenn du dann noch auf eine kommst sind 2 Variablen frei wählbar.
Ist egal welche beiden du wählst.
Und dann einfach ineinander einsetzen.
Du solltest dann als Losung etwas in der Form einer Ebene Gleichung erhalten.
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »

Sowas wie lamda1 * vektor1 etc.?

Bekomme aber hier keine weiter Variable weg. Oder übersehe ich da was?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alina H.
Kann ich dann einfach e=s und d=t setzen?
Dann bekäme ich ja für c= (9/2)*t-2*s raus
und das könnte ich ja dann wieder für a und b einsetzen.
Ist das so richtig?

Ich klinke mich mal ein. Ja, das wäre eine Möglichkeit. Den allgemeinen Lösungsvektor mußt du dann noch in eine gescheite Parameterform überführen.

Alternativ (und das ist meine bevorzugte Methode):
Bestimme erstmal die allgemeine Lösung des homogenen Systems. Dazu setzt du eine freie Variable gleich 1 und die anderen freien Variablen gleich Null. Bestimme dann dazu die Lösung. Das wiederholst du sukzessiv mit den restlichen freien Variablen. Im Anschluß brauchst du noch eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems. Setze dazu die freien Variablen gleich Null und bestimme die Lösung.
 
 
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, dass Sie mir so helfen smile

Weiß nicht ob ich diese Methode so ganz verstanden habe, die Sie vorgeschlagen haben:

In meiner Aufgabe würde ich dann ja

  1. für c=1, d=0 und e=0 (zwei Variable gleich null, die dritte gleich eins gesetzt)
    bekäme ich dann für a=-1/2 und für b=-1/2 raus

  2. für c=0, d=1 und e=0
    bekäme ich dann a=-3 und b=0 raus

  3. und für c=0, d=0 und e=1
    bekäme ich a=0 und b=-1 raus


War das so gemeint?

Für die spezielle Lösung des inhomogenen Systems würde ich dann erhalten (also für e=0, d=0 und c=0) für a = -5/4 und für b = 1/4

Wie muss ich denn dann weiter vorgehen? Oder habe ich es falsch verstanden?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alina H.
War das so gemeint?

Im Prinzip ja, aber es sind nur d und e freie Variablen. (Ich dachte, das wäre klar, da du diese mit den Parametern s und t versehen wolltest.)

Übrigens duzt man sich hier üblicherweise. smile
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, dann werde ich es gleich nochmal mit den zwei Variablen machen
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »

(Noch ein Versuch)
Also:

  1. für d=1 und e=0
    erhalte ich dann für a= -15/8, b= -27/8 und für c= 36/8

  2. für d=0 und e=1
    erhalte ich dann a=1/2, b=1/2 und c= -2

  3. Für die spezielle Lösung des inhomogenen Systems:
    für d=0 und e=0
    erhalte ich a=1/4, b=1/4 und c=0


Jetzt weiß ich aber leider immer noch nicht wie ich jetzt weiter vorgehen soll?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alina H.
für d=1 und e=0
erhalte ich dann für a= -15/8, b= -27/8 und für c= 36/8

Hm. Ich komme auf a= -17/8, b= -29/8 und für c= 9/2 .

Zitat:
Original von Alina H.
für d=0 und e=1
erhalte ich dann a=1/2, b=1/2 und c= -2

Hm. Ich komme auf a= 9/4, b= -11/4 und für c= 2 .

Zitat:
Original von Alina H.
Jetzt weiß ich aber leider immer noch nicht wie ich jetzt weiter vorgehen soll?

Die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems ist die Summe aus der speziellen Lösung und einer Linearkombination der allgemeinen Lösungen.
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe nochmal nachgerechnet und erhalte nun

für d=1 und e=0
erhalte ich dann für a= -17/8, b= -29/8 und für c= 9/2

Also passt mit deinen Lösungen überein smile

für d=0 und e=1
erhalte ich dann a=5/4, b=1/4 und c= -2

Hier passt es nicht wirklich verwirrt
Aber es müsste doch richtig sein, denn in der 3ten Zeile des LGS für d=0 und e=1 eingesetzt erhalte ich doch:

2*c+4=0 <=> also c=-2

Der Fehler liegt also ja offenbar am Vorzeichen.
Somit wäre es doch richtig? Oder hab ich den Fehler? Hammer
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Im nächsten Schritt muss ich doch dann nur die Parameterdarstellung machen also:



und damit wäre ich doch fertig ??

Vielen lieben Dank ! smile smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alina H.
für d=0 und e=1
erhalte ich dann a=5/4, b=1/4 und c= -2

Hier passt es nicht wirklich verwirrt
Aber es müsste doch richtig sein, denn in der 3ten Zeile des LGS für d=0 und e=1 eingesetzt erhalte ich doch:

2*c+4=0 <=> also c=-2

Der Fehler liegt also ja offenbar am Vorzeichen.
Somit wäre es doch richtig?

In der Tat hast du Recht. Gelegentlich verschlampe ich auch mal ein Vorzeichen. Hammer
Die Parameterdarstellung der Lösung ist dann ok. smile
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »

Super, nochmals danke für die tolle Hilfe smile
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