Schief-symmetrische 3x3 Matrix

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26.01.2016, 15:18	leitwerk	Auf diesen Beitrag antworten »
Schief-symmetrische 3x3 Matrix Hallo zusammen, ich hab folgendes Problem: A sei eine schief-symmetrische 3x3 Matrix. Zu zeigen ist nun, dass das Gleichungssystem Ax = 0 ein Lösung für $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ hat. Ich würde so herangehen, dass ich erstmal das GLS aufstelle: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b & c \\ -b & d & e \\ -c & -e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Doch hier bleibe ich hängen.. Kann das GLS ja schlecht mit so vielen Unbekannten lösen.. Hat da jemand von euch eine Idee ? LG
26.01.2016, 15:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schief-symmetrische 3x3 Matrix Deine Matrix ist im Allgemeinen nicht schief-symmetrisch. Schau noch mal auf die Diagonale.
26.01.2016, 15:34	leitwerk	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, du hast recht! $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 0 & b & c \\ -b & 0 & e \\ -c & -e & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Hm, nur auflösen kann ich das LGS noch immer nicht .. :/
26.01.2016, 15:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst ja nur einen angeben. Aus der ersten Zeile folgt $\begin{eqnarray} b x_2 + c x_3 = 0 \end{eqnarray}$ , dass man $\begin{eqnarray} x_2 = c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 = -b \end{eqnarray}$ nehmen kann. Nun kannst du gucken, wie du $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ aus der zweiten wählen kannst und dann "hoffen", dass die dritte automatisch erfüllt ist.
26.01.2016, 15:47	leitwerk	Auf diesen Beitrag antworten »
Yeaaah! Ich habs verstanden. Vielen Dank! Habe als Lsg. raus $\begin{eqnarray} x_{1} = -e<br /> x_{2} = c<br /> x_{3} = -b<br /> \end{eqnarray}$ Sprich eingesetzt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & b & c \\ -b & 0 & e \\ -c & -e & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -e \\c \\ -b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} bc-cb \\ be-eb \\ ce-ec \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
26.01.2016, 15:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön. Als blöder Trivialfall ist nun noch die Nullmatrix als schiefsymmetrische Matrix zu betrachten, da du dafür gerade $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ gewählt hast. Aber da tut es zum Glück absolut jeder Vektor
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26.01.2016, 19:14	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht übrigens deutlich einfacher, wenn man die definierende Eigenschaft der schiefsymmetrischen Matrix und die Determinante verwendet.
26.01.2016, 22:50	Alina H.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wie kommt man hier denn auf x2=c und x3=-b aus der ersten Zeile des LGS? Das versteh ich gerade irgendwie nicht Den Rest habe ich soweit verstanden.
27.01.2016, 06:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine mögliche Lösung (nicht die einzige!) für die erste Zeile. Wenn man umstellen darf (!), dann könnte man $\begin{eqnarray} x_2 = \frac { -x_3 c}{b} \end{eqnarray}$ für die allgemeine Lösung nehmen -- falls $\begin{eqnarray} b \neq 0 \end{eqnarray}$ . Hier kann man $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ beliebig wählen und wählt einfach $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ als schöne Zahl, s.d. $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ eine schöne Zahl. Es bietet sich $\begin{eqnarray} x_3 = b \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x_3 = -b \end{eqnarray}$ an, damit man den Bruch wegbekommt, und gleichzeitig die Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ ausgeschlossen werden muss, weil $\begin{eqnarray} x_2 = c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_3 = -b \end{eqnarray}$ so oder so eine Lösung ist. Vlt noch ein Hinweis zu URLs Weg: Er zeigt $\begin{eqnarray} \det A =0 \end{eqnarray}$ , indem er $\begin{eqnarray} \det A = \det A^T = ... \end{eqnarray}$ berechnet.

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