Matrizen - Rangbestimmung

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Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen - Rangbestimmung
Meine Frage:
Hallo liebe Community,

ich soll den Rang einer Matrix berechnen in Abhängigkeit von s
Es handelt sich um folgende M(4x5,IR) Matrix:





Meine Ideen:
Weiter umgerechnet erhalte ich



Hier sehe ich, dass ich für s=2 und s=-1 schon Nullzeilen bekomme:

Für s=2 erhalte ich damit die Treppenstufenform:



Für s=-2 erhalte ich damit die Treppenstufenform:



(Nach unserem Lemma aus der VL ändert sich bei elementaren Zeilen-(Spalten)umformungen der Rang der Matrix nicht.)

Damit hätte ich doch dann die Ränge für A(2) und A(-2) mathematisch korrekt gezeigt?

Wenn ich die Matrix noch allgemein ins Gaussverfahren umforme erhalte ich:



bzw. daraus



Für jedes andere s außer s=2 und s=-2 bekomme ich doch dann immer den Rang = 4 raus da ich durch die 1 in der 2. Zeile den Term 4-s immer auf 0 gerechnet bekomme und damit die 4. Zeile mithilfe der Zeilen 2 und 3 ganz leicht auf Stufenform bekomme.

Oder übersehe ich noch einen Fall??
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen - Rangbestimmung
Wäre wirklich dankbar wenn mir noch jemand antworten würde Gott Gott
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen - Rangbestimmung
Zitat:
Original von Alina H.
Damit hätte ich doch dann die Ränge für A(2) und A(-2) mathematisch korrekt gezeigt?


welche Ränge? schreib doch bitte so etwas wie

und was hast du dann gemacht? Ist mir nicht klar.

verwirrt
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen - Rangbestimmung
Siehe hier:
Matrizen - Rangbestimmung in Abhängigkeit von s

Bin ich das jetzt komplett falsch angegeangen?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nein. Es geht wohl darum noch zu prüfen ob ein dritter Fall möglich ist.
Und dazu hast du die Originalmatrix mit Gauss bearbeitet.

und als Ergebnis erhalten?

Edit: s^2 nicht gleich 4
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen - Rangbestimmung
zum Klärung hier nochmals die Umformung mit Gauss:







und daran würde ich ablesen:

s=2 ----> 3 Nullzeilen ----> rank(A)=1 geschockt
s=-2 ---> 2 Nullzeilen ----> rank(A)=2 geschockt
sonst : ---> keine Nullzeile ----> rank(A)=4
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! smile

Bin mir aber nicht sicher ob ich da doch noch was übersehen habe, daher frage ich um mich abzusichern. Haben Sie auch keinen weiteren Fall gefunden? smile

Vielen Dank und liebe Grüße!
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen - Rangbestimmung
Oh ich sehe gerade, dass Sie die vierte Zeile komplett als Nullzeile aufgelöst haben. Wie haben Sie das denn hinbekommen? Ich glaub ich bin gerade ziemlich blind geschockt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

siehe oben meine Post , ich dachte du bist schon im Bett.

edit: 4. Zeile =0 war ein Versehen, deshalb das lange EDIT.
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »

Ne leider noch nicht. Diese Aufgabe hält mich leider noch wach geschockt

Ok. Dann bin ich ja ein wenig beruhigt. Dennoch komme ich gerade nicht drauf wie Sie auf die Zeile III und IV kommen..

Ich nehme an, Sie haben zuerst die III.Zeile mit der (II)^2 subtrahiert? Bringt mich aber noch immer nicht ansatzweise auf Ihr schönes Ergebnis in der Gaußform. verwirrt
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »

Also stecke hierbei fest:



=>

Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

hier die Umformungen in vernünftiger Notation:



L2:=L2-L1 ---------- Line 2 wird ersetzt durch Line 2-Line 1
L3:=L3-2L1
L3:=L3-(s+2)L2
L4:=(s-2)L4+(s-4)L2
L4=(s+2)L4+(s-3)L3


nicht ganz das Original, aber so gut wie.
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!! smile
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

o.k.

Es ist einfach schwer, fremden Umformungen zu folgen und eventuelle Fehler aufzuspüren. Vor allem bei "Schulnotation" der Umformungen.

Zuletzt: strenggenommen müsstest du die Werte

der Reihe nach in die Originalmatrix einsetzen und die Ränge bestimmen .

Warum ? Nun mit diesen Werten werden gewisse Faktoren vor den Lines zu Null. Und das bedeutet, dass Gleichungen unzulässiger weise mit Null multipliziert werden. unglücklich

Oben ist es gut gegangen, das muss aber nicht immer so sein. Big Laugh

GN8 Wink
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »

Also quasi um nochmal zu zeigen, dass die Bestimmung der Ränge bis dahin ok bzw. zulässig ist? Oder ist das noch wesentlich?

Zulässig ist es, da ich keine Gleichung letztlich mit diesen 0en multipliziert habe?

Wie schriebt man sowas denn dann schon wieder korrrekt auf Big Laugh Daran muss ich echt noch üben, ich weiß Hammer

Vielen Dank und jetzt auch ersteinmal gute Nacht Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alina H.
Also stecke hierbei fest:



=>


In dem anderen Thread waren wir doch schon weiter. Korrekt ist (für den Fall s ungleich 2 und s ungleich -2):



Zitat:
Original von Dopap
Zuletzt: strenggenommen müsstest du die Werte

der Reihe nach in die Originalmatrix einsetzen und die Ränge bestimmen .

Warum ? Nun mit diesen Werten werden gewisse Faktoren vor den Lines zu Null. Und das bedeutet, dass Gleichungen unzulässiger weise mit Null multipliziert werden. unglücklich

Oben ist es gut gegangen, das muss aber nicht immer so sein. Big Laugh

Also ich sehe nicht, daß s=3 irgendeine Besonderheit darstellt. Auch s=4 ist im Grunde uninteressant, da die entsprechende Komponente in der 4. Zeile direkt oder durch Addition von einem geeigneten Vielfachen der 3. Zeile zu Null wird. Prinzipiell darf man auch das Nullfache einer Zeile zu einer anderen addieren.
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen - Rangbestimmung
Jetzt hab ich aber nochmal eine Frage verwirrt

Zitat:
Original von Dopap
zum Klärung hier nochmals die Umformung mit Gauss:







und daran würde ich ablesen:

s=2 ----> 3 Nullzeilen ----> rank(A)=1 geschockt
s=-2 ---> 2 Nullzeilen ----> rank(A)=2 geschockt
sonst : ---> keine Nullzeile ----> rank(A)=4


Hier habe ich ja ganz andere Ränge für Rang(A|s=2)= 1 und für Rang(A|s=-2)= 2 als zuvor bei der anderen Matrix:



für Rang(A|s=2)= 2 und für Rang(A|s=-2)= 3


Was ist denn nun richtig? Darf ich die Matrix also gar nicht so umformen?



Habe ja nachgerechnet und habe dabei auch keinen Fehler entdeckt. verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen - Rangbestimmung
Zitat:
Original von Alina H.
Was ist denn nun richtig? Darf ich die Matrix also gar nicht so umformen?

Ich weiß beim besten Willen nicht, was für eine Umformung du gemacht hast. verwirrt
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