Eindeutigkeit stochastische Exponentialfunktion

Neue Frage »

28.01.2016, 21:35	Fenistil	Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutigkeit stochastische Exponentialfunktion Meine Frage: Hallo zusammen, ich möchte beweisen, dass die stochastische Exponentialfunktion als Lösung der stochastischen DGL $\begin{eqnarray} dY_t=Y_t dX_t \end{eqnarray}$ eindeutig ist. Meine Ideen: Ich habe dafür einen anderen beliebigen Ito-Prozess Y' genommen, der ebenfalls die DGL erfüllt und dann die Ito-Formel auf den Quotienten der beiden Prozesse angewendet. Dann kürzen sich auch die Terme der ersten Ableitung weg, aber bei dem nächsten Teil der Ito-Formel, wo die zweiten Ableitungen eingehen, habe ich: $\begin{eqnarray} d(\frac{Y'}{Y})=\frac{Y'}{Y}dX-\frac{Y'}{Y}dX+\frac{Y'}{Y^3}d[Y',Y]=0+\frac{Y'}{Y^3}d[Y',Y] \end{eqnarray}$ . Ich denke, hier habe ich noch einen Fehler drin, denn es soll ja 1 rauskommen. Kann mir jemand helfen, wie ich den Teil mit der zweiten Ableitung richtig anwende? Vielen Dank!!! Fenistil
03.02.2016, 14:50	Fenistil	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir niemand helfen?? Es würde mir jeder Tipp sehr helfen!
03.02.2016, 15:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal ehrlich: Ito-Kalkül ist Glatteis, ich hab zum letzten Mal vor ca. 20 Jahren damit zu tun gehabt, seitdem nicht und nur in Erinnerung behalten, dass höchste Vorsicht geboten ist und einige Analogien aus der normalen Analysis furchtbar schiefgehen. Dementsprechend wird es wohl eher Glückssache sein und/oder viel Geduld erfordern, bis einer mit wirklicher Ahnung auf dem Terrain hier dir helfen kann. Ich z.B. müsste mich erst wieder einlesen und könnte dann wahrscheinlich doch auch nur etwas rumstümpern, das würde dir wohl nicht helfen.
03.02.2016, 15:19	Fenistil	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, ich dachte besonders Aktuare haben damit zu tun... Ich soll das ja für die Uni machen, daher keine Ahnung wo man das genau anwendet ;-)
03.02.2016, 15:44	ArkhamKnight	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, eig sollte $\begin{eqnarray} d(Y_t/Y_t')=0 \end{eqnarray}$ gelten, denn dann folgt via Integration $\begin{eqnarray} Y_t/Y_t'=Y_0/Y_0'=1 \end{eqnarray}$ . Schreib mal deine gesamte bisherige Rechnung auf.
03.02.2016, 16:15	Fenistil	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt :-D Also: $\begin{eqnarray} df(y',y)=d(\frac{Y'}{Y})=\frac{1}{Y}dY'-\frac{Y'}{Y^2}dY+\frac{1}{2}\cdot\frac{2Y'}{Y^3}d[Y',Y] \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} dY=YdX sowie \ dY'=Y'dX \end{eqnarray}$ folgt für die obere Gleichheit: $\begin{eqnarray} ... = \frac{1}{Y}Y'dX-\frac{Y'}{Y^2}YdX+ \frac{Y'}{Y^3}d[Y',Y] =\frac{Y'}{Y}dX-\frac{Y'}{Y}dX+ \frac{Y'}{Y^3}d[Y',Y] = 0+\frac{Y'}{Y^3}d[Y',Y] \end{eqnarray}$ (Es kann auch sein, dass ich die Ito-Formel falsch angewendet habe in der zweiten Ableitung, habe das nicht ganz verstanden, ob ich die gemischten Ableitungen auch betrachten muss)
Anzeige

03.02.2016, 17:33	ArkhamKnight	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Tat. Es gilt (ausführlich) $\begin{eqnarray} d(Y'/Y)= \frac{1}{Y}dY'-\frac{Y'}{Y^2}dY-\frac{1}{2}\frac{1}{Y^2}d[Y',Y]-\frac{1}{2}\frac{1}{Y^2}d[Y,Y']+\frac{1}{2}0dY'+\frac{1}{2}\frac{2Y'}{Y^3}d[Y'] \end{eqnarray}$
03.02.2016, 17:58	ArkhamKnight	Auf diesen Beitrag antworten »
Im vorletzten Summanden sollte es natürlich $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}0d[Y'] \end{eqnarray}$ heißen.
03.02.2016, 18:33	Fenistil	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Dann steht dort nur noch: $\begin{eqnarray} \frac{Y'}{Y^3}d[Y']-\frac{1}{Y^2}d[Y,Y'] \end{eqnarray}$ . Das heißt, damit das Ganze Null wird, muss $\begin{eqnarray} d[Y,Y']=\frac{Y'}{Y} d[Y'] \end{eqnarray}$ gelten. Ist das so? Bzw. wie kann man das kurz begründen (wir hatten leider nicht viel über die quadratische Kovariation...)?
04.02.2016, 09:47	ArkhamKnight	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist noch ein Schreibfehler aufgefallen Es muss im letzten Summanden $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{2Y'}{Y^3}d[Y] \end{eqnarray}$ heißen, tut mir leid. Du muss stets überprüfen. Verstehst du denn, warum das richtig ist? Es gibt Rechenregeln für quadratische Variationen, z.B. $\begin{eqnarray} d[Y,Y']=YY'd[X] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d[Y]=Y^2d[X] \end{eqnarray}$ . Liegt also in der einen Komponente der quadratischen Variation ein stochastisches Integral vor, so kann man den Integranten rausziehen. Im Falle zweier stochastischer Integrale dann natürlich auch beide Integranten und das ganze ist dann "multiplikativ".
04.02.2016, 15:45	Fenistil	Auf diesen Beitrag antworten »
Uiiii, jetzt geht alles auf! Ja, die Rechnung verstehe ich, hatte die zweiten gemischten Ableitungen auch so ausgerechnet, aber bei mir haperte es halt an der Ito-Formel (ob man die gemischten einsetzt) und die Rechenregel für die quadratische Variation kannte ich auch nicht. Aber sehr gut zu wissen!!!! Danke, du hast meinen Tag gerettet! Wünsche dir auch einen wunderschönen Tag :-) Fenistil

Neue Frage »

Antworten »

Eindeutigkeit stochastische Exponentialfunktion

Verwandte Themen