Bestimmung einer Schranke für absoluten Fehler

30.01.2016, 10:57	peter32	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung einer Schranke für absoluten Fehler Meine Frage: Hi Leute, ich hätte folgende Frage und zwar geht es um die Aufgabe siehe: Aufgabe.1 & Aufgabe.2 im Anhang. Aus Aufgabe 1 das Interpolationspolynom zu bestimmen kein Problem Aus Aufgabe 2 den Näherungswett für das Integral zu bestimmen kein auch kein Problem. Nur mit dem bestimmen der oberen Schranke für den absoluten Fehler tue ich mich schwer. Ich weiß was eine obere / untere Schranke ist und auch was der absolute Fehler ist nur weiß ich einfach nicht wie ich das genau berechnen soll/muss? Wäre echt klasse wenn mir jemand helfen könnte :-). Meine Ideen: Der Absolute Fehler ist ja in der Aufgabenstellung qausi vorgebene nur fehlt mir der exakte Wert den ich nicht bestimmen kann also muss ich den schätzen oder wie geht das ? Den Nährerungswert habe ich ja selbst berechnet. Wäre echt klasse wenn mir jemand helfen könnte :-).
01.02.2016, 19:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwas ist an Aufgabe 3 oberfaul: Meines Erachtens steht $\begin{align} \|f^{(3)}(x)\|<1 \end{align}$ für alle $\begin{align} x\in (1,5) \end{align}$ im Widerspruch zu $\begin{align} f(1)=30,f(2)=27,f(4)=25,f(5)=20 \end{align}$ . Grund: Für "iterierte" Differenzen $\begin{align} \Delta_n f(x,h) := \Delta_{n-1} f(x+h,h) - \Delta_{n-1} f(x,h) \end{align}$ mit Start $\begin{align} \Delta_0 f(x,h):= f(x) \end{align}$ gilt: Ist $\begin{align} f \end{align}$ in $\begin{align} (x,x+nh) \end{align}$ $\begin{align} n \end{align}$ -mal differenzierbar, so existiert ein $\begin{align} \xi\in(x,x+nh) \end{align}$ mit $\begin{align} \Delta_n f(x,h) = h^n\cdot f^{(n)}(\xi) \end{align}$ . (Für $\begin{align} n=1 \end{align}$ ist das einfach der MWS der Differentialrechnung, die genannte Eigenschaft ist mit dem MWS leicht per Induktion beweisbar). Im vorliegenden Fall heißt das mit $\begin{align} h=1 \end{align}$ und $\begin{align} n=3 \end{align}$ $\begin{align} \Delta_3 f(1,1) = f(4)-3f(3)+3f(2)-f(1) = f^{(3)}(\xi_1) \end{align}$ $\begin{align} \Delta_3 f(2,1) = f(5)-3f(4)+3f(3)-f(2) = f^{(3)}(\xi_2) \end{align}$ , was unter Einsetzen der vier bekannten Funktionswerte sowie $\begin{align} -1<f^{(3)}(\xi_k)<1 \end{align}$ dann die beiden Ungleichungen $\begin{align} -1 < 76-3f(3) < 1 \end{align}$ und $\begin{align} -1 < 3f(3)-82 < 1 \end{align}$ bedeutet, deren Lösungen $\begin{align} 25 < f(3) < \frac{77}{3} \end{align}$ und $\begin{align} 27 < f(3) < \frac{83}{3} \end{align}$ im Widerspruch zueinander stehen... Insofern würde ich die gegebenen Daten als in sich widersprüchlich ablehnen, d.h., der Aufgabesteller muss erstmal zurück an den "Konstruktionstisch" und seine Daten widerspruchsfrei gestalten.

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