Komplexprodukt Untergruppe

30.01.2016, 11:14

StrunzMagi

Komplexprodukt Untergruppe

Meine Frage:
Sei G eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} N_i \end{eqnarray*}$ Normalteiler von G für ( $\begin{eqnarray*} 1 \le i \le k \end{eqnarray*}$ ): Warum ist das Komplexprodukt $\begin{eqnarray*} N_1*...*N_k=\{n_1*..*n_k|n_i \in N_i \forall \{1,..,k\}\} \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von G?

Meine Ideen:
Hallo

Bei dem Beweis, dass $\begin{eqnarray*} <N_1 \cup .. \cup N_k> = N_1*..*N_k \end{eqnarray*}$ benötigen wir diese Aussage. Habt ihr einen Tipp für mich wie man das am besten zeigen kann?
$\begin{eqnarray*} N_1*..*N_k \not=\emptyset \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} N_i \not=\emptyset \forall i \in \{1,..,k\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N_1*..*N_k \subseteq G \end{eqnarray*}$ ist klar
$\begin{eqnarray*} a,b \in N_1*..*N_k : a= n_1*...*n_k, b=m_1*..*m_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n_i, m_i \in N_i \forall i \in \{1,..,k\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a*b = (n_1*...*n_k)*(m_1*..*m_k) \end{eqnarray*}$
ZZ.: $\begin{eqnarray*} a*b \in N_1*..*N_k \end{eqnarray*}$
Bräuchte ich hier nicht. dass die Normalteiler im Schnitt nur das neutrale Element haben um zu kommutieren?

30.01.2016, 12:58

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Untergruppen können kommutieren, ohne dass sie elementweise kommutieren. $\begin{eqnarray*} N_1N_2=N_2N_1\not \Rightarrow \forall n\in N_1,\forall m\in N_2 : nm=mn \end{eqnarray*}$ .

30.01.2016, 15:33

StrunzMagi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,
Ja das stimmt natürlich.
Aber ich komme mit dem Beweis trotzdem noch nicht weiter. Kannst du mir bezüglich des Beweises etwas mehr helfen?

Danke,
MaGi

30.01.2016, 18:04

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Für 2 Normalteiler scheint mir die Kommutativität klar zu sein:
Da $\begin{eqnarray*} N_2 \end{eqnarray*}$ Normalteiler ist, gilt $\begin{eqnarray*} \forall g\in G : g^{-1}N_1g=N_1\Rightarrow \forall g\in N_2 : g^{-1}N_1g=N_1\Rightarrow N_2^{-1}N_1N_2=N_1\Rightarrow N_1N_2=N_2N_1 \end{eqnarray*}$ .
In der "Theorie der endlichen Gruppen" von Kurzweil / Stellmacher steht nun der
"Satz 1.1.5 Seien A und B Untergruppen von G. Genau dann ist AB eine Untergruppe von G, wenn AB=BA gilt."
(Ein Satz auf Seite 5 kann nicht allzu schwer zu beweisen sein Augenzwinkern

)

02.02.2016, 11:12

StrunzMagi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Für k=2 ist die Aussage damit geklärt.
Nun schätze ich hilft Induktion?
Induktionsannahme: $\begin{eqnarray*} N_1*..*N_k \end{eqnarray*}$ ist eine Untergruppe von G
ZZ.: $\begin{eqnarray*} N_1*..*N_{k}*N_{k+1} \le G \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} N_{k+1} \end{eqnarray*}$ ein Normalteiler ist folgt $\begin{eqnarray*} (N_1*..*N_k)^{-1} N_{k+1} (N_1*...*N_k)= N_{k+1} \end{eqnarray*}$
Es folgt $\begin{eqnarray*} N_{k+1} (N_1*...*N_k)=(N_1*..*N_k) N_{k+1} \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} N_1*..N_k \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist nach IV. und $\begin{eqnarray*} N_{k+1} \end{eqnarray*}$ eine Gruppe von G ist und diese kommutieren ist $\begin{eqnarray*} N_1*..*N_{k}*N_{k+1} \le G \end{eqnarray*}$ nach deinem Satz auf Seite 5.

Ist das okay?
Dein besagter Beweis auf Seite 5 ist mir schon bekannt!

02.02.2016, 12:03

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, das genügt nicht. Wir müssen das wieder auf die Elementebene zurückführen, also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (n_1...n_k)(m_1...m_k)\in N_1...N_k \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} N_1N_2=N_2N_1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (n_1n_2)(m_1m_2)=n_1(n_2m_1)m_2=n_1(m_1^*n_2^* )m_2=(n_1m_1^*)(n_2^*m_2) \end{eqnarray*}$ , und daran "sehen wir" (diese Ausdrucksweise ersetzt die vollständige Induktion Augenzwinkern

), dass die Elemente zwar nicht kommutieren müssen, dass aber trotzdem immer die Behauptung gilt (wir vertauschen solange paarweise und ersetzen die Elemente der Paare solange, bis alles umgeordnet ist).
Zum Beispiel $\begin{eqnarray*} n_1n_2n_3m_1m_2m_3=n_1n_2m_1^*n_3^*m_2m_3=n_1m_1^{**}n_2^*n_3^*m_2m_3=n_1m_1^{**}n_2^*m_2^*n_3^{**}m_3 \end{eqnarray*}$

03.02.2016, 02:37

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, man kann das induktiv machen. Da mit $\begin{align*} U < G, N \vartriangleleft G \end{align*}$ das Komplexprodukt $\begin{align*} U \cdot N < G \end{align*}$ , also Untergruppe von G ist, kann man mit der Induktionsvoraussetzung $\begin{align*} N_1 \cdot N_2\cdot \cdots \cdot N_k< G, N_{k+1} \vartriangleleft G \end{align*}$ folgern, dass die Induktionsbehauptung $\begin{align*} N_1 \cdot N_2\cdot \cdots \cdot N_{k+1}< G \end{align*}$ gilt. Der Induktionsanfang sollte außerdem klar sein (s.o).

03.02.2016, 02:53

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
Für 2 Normalteiler scheint mir die Kommutativität klar zu sein:
Da $\begin{eqnarray*} N_2 \end{eqnarray*}$ Normalteiler ist, gilt $\begin{eqnarray*} \forall g\in G : g^{-1}N_1g=N_1\Rightarrow \forall g\in N_2 : g^{-1}N_1g=N_1\Rightarrow N_2^{-1}N_1N_2=N_1\Rightarrow N_1N_2=N_2N_1 \end{eqnarray*}$ .

Es ist übrigens $\begin{align*} N_i^{-1}=N_i, N_i \cdot N_i = N_i \end{align*}$ und im Allgemeinen $\begin{align*} N_2^{-1}\cdot N_1\cdot N_2 = N_2\cdot N_1\cdot N_2 = N_2\cdot N_2\cdot N_1 = N_2\cdot N_1\not= N_1 \end{align*}$ .

Edit: $\begin{align*} U^{-1}=U, U\cdot U= U \end{align*}$ gilt natürlich für jede (Unter)gruppe, nicht nur für Normalteiler. Ist eine der beiden Untergruppen $\begin{align*} U, V < G \end{align*}$ Normalteiler, so gilt $\begin{align*} U\cdot V=V\cdot U\Leftrightarrow U\cdot V < G \end{align*}$ . Sind sogar beide Normalteiler, so ist ihr Komplexprodukt ebenfalls Normalteiler.

Neue Frage »

Antworten »

Komplexprodukt Untergruppe

Verwandte Themen