Komplexe Geometrische Reihe

01.02.2016, 08:25

charly0808

Komplexe Geometrische Reihe

Meine Frage:
Guten Morgen!

Ich habe da ein Problem mit den komplexen geometrischen Reihen.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{\bar{z}}{z + i})^k \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Prinzipiell sind mir die reellen geometrischen Reihen bekannt, dort ist es auch kein Problem Konvergenzbereich und Grenzwert zu bestimmen.
Für komplexe geometrische Reihen fehlt mir bisher jedoch ein Ansatz.

Bekannt ist was z und $\begin{eqnarray*} \bar{z} \end{eqnarray*}$ bedeuten und wie man damit rechnet.

Jetzt schon mal vielen Dank für Eure Hilfe.

01.02.2016, 08:29

HAL 9000

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Dein Reihenglied $\begin{eqnarray*} \frac{\bar{z}}{z + i} \end{eqnarray*}$ hängt gar nicht vom Reihenindex $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ab - inwiefern soll das da eine geometrische Reihe sein? Erstaunt1

01.02.2016, 08:31

charly0808

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Sorry, hab doch glatt bei der Formel das hoch k vergessen Hammer

01.02.2016, 09:11

HAL 9000

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Die aus dem Reellen her bekannte Aussage, dass $\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} q^k \end{align*}$ genau dann konvergent ist, wenn $\begin{align*} |q|<1 \end{align*}$ ist, gilt unverändert auch im Komplexen. Und auch dort ist der Reihenwert in diesem Fall $\begin{align*} \frac{1}{1-q} \end{align*}$ .

01.02.2016, 10:39

charly0808

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Ok, soweit komm ich mit.

Aber mir erschließt sich nicht das "große ganze"

$\begin{eqnarray*} \frac{\bar{z}}{z+i} = \frac{a - bi}{a + (b+1)i}, \end{eqnarray*}$
was nichts anderes ist als mein $\begin{eqnarray*} q_{k} \end{eqnarray*}$ . Dieses muss Betragsmäßig kleiner 1 sein, das habe ich auch verstanden. Also muss der Nenner des Bruchs $\begin{eqnarray*} a + (b+1)i \end{eqnarray*}$ , größer sein als $\begin{eqnarray*} a - bi \end{eqnarray*}$ Das bedeutet dann doch, dass es für alle b < 0 konvergiert, oder unterläuft mir da ein Denkfehler?

Dann gilt für meinen Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 - \frac{a - bi}{a+(b+1)i}} = \frac{z+1}{i(2b+1)} \end{eqnarray*}$

Und da steh ich auf dem Schlauch.
a) Habe ich bis hier hin richtig gedacht und gerechnet?
b) wie komm ich jetzt an den Grenzwert?

01.02.2016, 11:12

HAL 9000

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Mal ganz langsam: $\begin{align*} |q| = \left| \frac{\bar{z}}{z+i} \right| < 1 \end{align*}$ ist gleichbedeutend mit $\begin{align*} \left| \bar{z} \right| < \left| z+i \right| \end{align*}$ , was mit $\begin{align*} z=a+bi \end{align*}$ und somit $\begin{align*} \bar{z}=a-bi \end{align*}$ dann erstmal zur Ungleichung $\begin{align*} a^2+b^2 < a^2+(b+1)^2 \end{align*}$ führt. Und deren Lösung ist nicht b<0, sondern ... ?

Was den Reihenwert betrifft: Du musst auch berücksichtigen, dass deine Reihe erst bei $\begin{align*} k=1 \end{align*}$ beginnt! Es ist $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} q^k = \frac{q}{1-q} \end{align*}$ .

01.02.2016, 11:38

charly0808

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Also: $\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 < a^2 +b^2 + 2b + 1 \end{eqnarray*}$ führt zu -0,5 < b.
Der Reihenwert ist dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\bar{z}{z+1}}{1-\frac{\bar{z}{z+1}}} \end{eqnarray*}$
Aber wie komme ich von der Darstellung auf einen konkreten Wert, ich glaube, da hab ich noch eine Barriere im Kopf verwirrt

01.02.2016, 11:47

HAL 9000

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Zunächst mal: Überall, wo du $\begin{align*} z+1 \end{align*}$ verwendest, gehört doch eigentlich $\begin{align*} z+i \end{align*}$ hin, nicht wahr? Der Reihenwert ist also

$\begin{align*} \frac{\frac{\bar{z}}{z+i}}{1-\frac{\bar{z}}{z+i}} = \frac{\bar{z}}{z+i-\bar{z}} = \frac{a-bi}{a+bi+i-(a-bi)} = \ldots \end{align*}$ ,

das kann man bei vorgegebenen $\begin{align*} z=a+bi \end{align*}$ doch schon sehr konkret ausrechnen. Zumal im letzten Term rechts der Nenner eine rein imaginäre Struktur aufweist, was die Rechnung nochmals vereinfacht. Augenzwinkern

P.S.: Das Matheboard hat momentan technische Probleme, anscheinend funktioniert die [ latex]...[/latex]-Umgebung nicht wie gewohnt. Verwende stattdessen [ mathjax]...[/mathjax] (natürlich ohne Leerzeichen nach [), dann sind die Formel auch sichtbar - sofern du JavaScript auf https://www.mathjax.org zulässt. Augenzwinkern

01.02.2016, 11:58

charly0808

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Ok, soweit komme ich mit.
Weiter Umformung führt dann zu $\begin{align*} \frac{a - bi}{(2b+1)i} \end{align*}$

Nehme ich dann jetzt für b = -0,5, dann fehlt mir noch mein a, um einen konkreten Reihenwert zu errechnen oder? Wobei - 0,5 für b nicht geht, da sonst der Nenner 0 wäre verwirrt

01.02.2016, 13:10

HAL 9000

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Du hast doch eben gerade festgestellt, was für Konvergenz erforderlich ist:

Zitat:

Original von charly0808
Also: $\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 < a^2 +b^2 + 2b + 1 \end{eqnarray*}$ führt zu -0,5 < b.

Jetzt dann sofort "probehalber" b=-0.5 einzusetzen ist aber ein ziemlich schlechtes Kurzzeitgedächtnis.

Und was heißt "fehlt mir noch mein a" ? Wenn du $\begin{align*} z \end{align*}$ gegeben hast, ist dir doch auch dessen Realteil $\begin{align*} a \end{align*}$ bekannt? Verstehe deine Frage nicht. unglücklich

02.02.2016, 09:52

charly0808

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Ok, also für -0,5 < b konvergiert das Ganze. Das habe ich soweit verstanden.

Aber ich habe doch keine konkreten Werte für z oder a?

02.02.2016, 12:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von charly0808
Aber ich habe doch keine konkreten Werte für z oder a?

Ja und? Dann ist das Ergebnis eben die Termangabe mit $\begin{align*} z \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} a \end{align*}$ drin.

Ich weiß jetzt wirklich nicht, wo du da ein Problem siehst. unglücklich

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