Lineare Abbildung Kern und Bild

03.02.2016, 11:41

Dr. Inkognito

Lineare Abbildung Kern und Bild

Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe, zu der ich auch die Lösung weiß, allerdings bei manchen Kleinigkeiten, die zur Lösung führen, nicht sicher bin ob ich sie verstehe. Außerdem wollte ich mal, dass Ihr guckt, ob mein Gedankengang für die Sachen, die ich bereits verstehe, auch richtig ist. Daher werde ich alles in der Lösung begründen.
Was ich nicht verstehe, ist insbesondere ein Teil in der b)

Die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, v_3, v_4 \in \mathbb{R}_4 \end{eqnarray*}$ seien gegeben durch

$\begin{eqnarray*} v_1 := \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, v_2 := \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}, v_3 := \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}, v_4 := \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ferner seien $\begin{eqnarray*} w_1, w_2, w_3, w_4 \in \mathbb{R}_3 \end{eqnarray*}$ gegeben durch

$\begin{eqnarray*} w_1 := \begin{pmatrix} 8 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}, w_2 := \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, w_3 := \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix}, w_4 := \begin{pmatrix} 9 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi: \mathbb{R}_4 \rightarrow \mathbb{R}_3 \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \varphi ( v_i ) = w_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1 \leq i \leq 4 \end{eqnarray*}$

b) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} dim(Ker\varphi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dim(Im\varphi) \end{eqnarray*}$ und geben Sie eine Basis von $\begin{eqnarray*} Ker\varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Im\varphi \end{eqnarray*}$ an.

Also die a) ist für mich soweit klar. Nach einem Satz, der in den Vorlesungen bewiesen wurde, muss ich nur zeigen, dass v1,v2,v3,v4 linear unabhängig sind und dann gilt das. Die Lösung dazu schreib ich jetz auch nicht auf.

b)
Hier berechne ich zuerst $\begin{eqnarray*} Im\varphi \end{eqnarray*}$ , indem ich zuerst w1,w2,w3 und w4 auf lineare Unabhängigkeit prüfe. Dazu löse ich das LGS.
Es kommt folgende Matrix am Ende raus:
(1. Spalte = w1, 2. Spalte = w2, 3. Spalte = w3 und 4. Spalte w4)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier sehe ich, dass es zwei unterschiedliche Gruppen mit "Nullstufen" gibt. Die erste Gruppe wird von w1 gebildet, die restlichen Vektoren sind in einer anderen Gruppe.
Würde ich w3 und w4 in die Basis vom Bild nehmen, dann wär das falsch, weil nicht alle Gruppen dabei sind.
Würde ich w1 und w2 in die Basis vom Bild nehmen, dann wär das richtig, weil alle Stufen abgedeckt werden.

Dann lautet nun die Basis vom Bild: $\begin{eqnarray*} {w_1, w_2} \end{eqnarray*}$
Dementsprechend ist $\begin{eqnarray*} dim(Im\varphi) = 2 \end{eqnarray*}$ (Da es 2 Basisvektoren hat)

Wir schauen uns das LGS von w1,w2,w3,w4 nochmal an.
Die Zeilen übersetzen sich wie folgt:

$\begin{eqnarray*} 1x_1 + 2x_2 + 5x_3 - 1x_4 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1 + 1x_2 + 2x_3 - 1x_4 = 0 \end{eqnarray*}$

Um hier eine Lösung darstellen zu können, sind insgesamt zwei Variablen frei wählbar.
Wir sagen $\begin{eqnarray*} x_3 = s, x_4 = t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s,t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Dann formen wir das zweite und erste Ding nach x2 und x1 um und erhalten so:

$\begin{eqnarray*} x_2 = -2s + t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 = -s -t \end{eqnarray*}$

Es ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} (-s-t)w_1 + (-2s + t)w_2 + sw_3 + tw_4 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich mache das deshalb, da man jetzt Werte in s und t einsetzen kann um damit eine Linearkombination für den Nullvektor zu erhalten. Anhand dieser Linearkombination werde ich dann die Regeln von linearen Abbildungen anwenden.
Nach Dimensionsformel ist ja $\begin{eqnarray*} dim(\mathbb{R}_4) = dim(Im\varphi) + dim(Ker\varphi) \end{eqnarray*}$
Das heißt 4 = 2 + x, also ist Dimension vom Kern 2.
Ich suche nun 2 Basisvektoren für den Kern.

Ich setze also beispielsweise s = 1 und t = 0, dann bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} -w_1 - 2w_2 + w_3 = 0 \end{eqnarray*}$
Sei also $\begin{eqnarray*} u_1 = -v_1 - 2v_2 + v_3 \end{eqnarray*}$
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \varphi(u_1) = 0 \end{eqnarray*}$
Ersten Vektor hab ich.

Nun setze ich s = 0 und t = 1 und bekomme:
$\begin{eqnarray*} -w_1 + w_2 + w_4 = 0 \end{eqnarray*}$
Sei also
$\begin{eqnarray*} u_2 = -v_1 + v_2 + v_4 \end{eqnarray*}$
dann gilt
$\begin{eqnarray*} \varphi(u_2) = 0 \end{eqnarray*}$

In Musterlösungen wurde das etwas ähnlich gemacht und u1 und u2 wurden genau so gewählt.
So, hier ist meine Hauptfrage:
WARUM bilden u1 und u2 nun immer eine Basis vom Kern?????
Oder besser gesagt: Woher weiß ich, welche s und t ich reinstecken darf, damit ich immer linear unabhängige Vektoren rausbekomme??
Nach Musterlösung waren u1 und u2 dann sofort linear unabhängig und da dim(Ker) = 2 gilt, haben wir schon unsere Basis.
Oder ist es egal, welche s und t ich reinstecke???

Dann bedanke ich mich schonmal im Voraus. smile

04.02.2016, 07:24

MeMeansMe

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RE: Lineare Abbildung Kern und Bild
Guten Morgen,

so wie ich das jetzt sehe, hast du ein Erzeugendensystem für den Kern der Abbildung gefunden, das zweidimensional ist, wo also die Anzahl der Vektoren gleich der Dimension des Raumes ist. Damit ist das System minimal erzeugend und dementsprechend maximal linear unabhängig. Das ist ein Satz, den ihr evtl. bewiesen habt smile

04.02.2016, 12:20

Dr. Inkognito

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RE: Lineare Abbildung Kern und Bild

Zitat:

Original von MeMeansMe
Guten Morgen,

so wie ich das jetzt sehe, hast du ein Erzeugendensystem für den Kern der Abbildung gefunden, das zweidimensional ist, wo also die Anzahl der Vektoren gleich der Dimension des Raumes ist. Damit ist das System minimal erzeugend und dementsprechend maximal linear unabhängig. Das ist ein Satz, den ihr evtl. bewiesen habt smile

Hallo MeMeansMe,

danke für deine Antwort. Leider verstehe ich nicht ganz, was dieser Satz genau bedeutet. Ich meine, ich kann mir ja beliebige Vektoren ausdenken, dessen Anzahl gleich der Dimension des Raumes ist, aber für mich hat das keinen Zusammenhang mit der Tatsache dass sie linear unabhängig sein sollen, oder besser gesagt ÜBERHAUPT ein Erzeugendensystem sind. In diesem Beispiel setze ich ja einmal s = 1, t = 0 und dann s= 0, t=1 und erhalte somit Linearkombinationen für Vektoren, die definitiv im Kern liegen. Aber wie gesagt das ist meine Hauptfrage: Kann man aus den gewählten Werten für s und t sofort erkennen, dass die Vektoren die da rauskommen auch linear unabhängig sind, bzw. gemeinsam ein Erzeugendensystem darstellen?

Allerdings habe ich gerade eine andere Idee bekommen, wie man das begründen kann. Ich hoffe ich habe das Austauschlemma hierbei verstanden.

Wir nehmen
$\begin{eqnarray*} u_1 = -v_1 - 2v_2 + 3v_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_2 = -v_1 + v_2 + v_4 \end{eqnarray*}$

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_4 = span\{v_1, v_2, v_3, v_4\} = span\{v_1,v_2,u_1,u_2\} \end{eqnarray*}$
Hier hab ich v3 und v4 rausgeschmissen, weil sie jeweils in u1 und u2 als Linearkombination vorkommen und somit ausgetauscht.
Jetzt hab ich auch bewiesen, dass u1 und u2 linear unabhängig sind, sowie im Kern liegen. Dann bilden sie auch eine Basis vom Kern, da Dim(Kern) = 2.

Ginge das so?

Was ich mich wie gesagt immer noch frage ist, ob man das anhand der gewählten s und t bereits begründen kann, da es bei uns mehrere Aufgaben solcher Art gibt, wo zum Beispiel bei drei frei wählbaren zahlen r,s,t immer die Kombinationen kommen, wie

r=1, s=0, t=0
r=0, s=1,t=0
r=0, s= 0, t=1

Da schreit meine Intuition ja schon irgendwie, dass man dadurch drei linear unabhängige Vektoren erzeugen würde, aber ob das stimmt weiß ich eben nicht.

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