Varianz einer Summe berechnen

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Jojo123321 Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz einer Summe berechnen
Meine Frage:
Hallo,

wie berechne ich möglischst schnell den Erwartungswert und Varianz bei einer solchen aufgabenstellung (siehe unten)

Ein Vektor ist gegeben mit:

phi = (phi1, phi2, phi3, ..., phiN)

mit N unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen. (N=1000)

Es ist

[latex] s_{N} =\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{N} \phi^{2}_{i} [\latex]

und

[latex] \pi_{N} =\prod\limits_{i=1}^{N} \phi^{2}_{i} [\latex]

Wie berechne ich hier den Erwartungswert von [latex]E[\pi_{N}][\latex] und [latex]E[\s_{N}][\latex] sowie Varianz?




Meine Ideen:
Muss ich hier "zu fuss" gehen oder gibt es eine Formel, wo ich das ganze vereinfachen kann (bei 1000 Glieder....)


Danke
jojo123321 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz einer Summe berechnen
Sorry, die Zeichen waren falsch rum, mein zweiter versuch:

Meine Frage:
Hallo,

wie berechne ich möglischst schnell den Erwartungswert und Varianz bei einer solchen aufgabenstellung (siehe unten)

Ein Vektor ist gegeben mit:

phi = (phi1, phi2, phi3, ..., phiN)

mit N unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen. (N=1000)

Es ist



und



Wie berechne ich hier den Erwartungswert von und sowie Varianz?




Meine Ideen:
Muss ich hier "zu fuss" gehen oder gibt es eine Formel, wo ich das ganze vereinfachen kann (bei 1000 Glieder....)


Danke
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Reden wir hier über beliebige Normalverteilungen oder nur über Standardnormalverteilungen bei den ? verwirrt

Letzteres würde die Dinge natürlich etwas vereinfachen.
jojo123321 Auf diesen Beitrag antworten »

Normalverteilung (mit Mittelwert 0 und Varianz 1) steht es dort. Also gehe ich von der Standardnormalverteilung aus...

Bin gespannt...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist doch alles einfach berechenbar, wenn man ein paar Rechenregeln mit Erwartungswerten/Varianzen kennt:

1)

2) für reelle Konstanten .

3) , falls die unabhängig.

4) für reelle Konstanten .

5) , falls die unabhängig.

6)

Dazu noch ein paar bekannte Werte von der Standardnormalverteilung:

und .



Nehmen wir z.B. den Erwartungswert von

.

Und die Varianz:

.
Jojo123321 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi...

Danke. Wo kommen die N´s im Exponent her? Weil das Produkt bis N läuft?

HAbe es versucht für Sn zu machen, kannst du bitte schauen ob es korrekt ist?

Unter Verwendung von 1)



Was aber falsch ist, da in der Lösung 1 steht... Hab wohl etwas nicht verstanden, was geschieht mit vor dem Summenzeichen?

Nehmen wir an, der Erwartungswert oben wäre 1 :


Der erwartungswert von ist 3, dann (???):



verwirrt verwirrt verwirrt verwirrt
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jojo123321
Was aber falsch ist, da in der Lösung 1 steht... Hab wohl etwas nicht verstanden

Allerdings: Wenn man die insgesamt -mal miteinander multipliziert, dann kommt heraus.

Wenn man aber die insgesamt -mal miteinander addiert, kommt nicht heraus, sondern... ?

Also bitte Hirn einschalten vor dem Anwenden vermeintlicher Analogien. unglücklich
jojo123321 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups

Bei addition N.

So sieht das ganze auch besser aus:

Beim Erwartungswert hätten wir dann N/N= 1
Finger1

Und Varianz
[/latex]


Hier sollte aber 2/N das richtige ergebnis sein... Also welchen blöden Fehler habe ich nun gemacht... verwirrt

Danke dir
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir mal Regel 4) an.
jojo123321 Auf diesen Beitrag antworten »

Habs... sorry ... Ich esse jetzt liewber etwas, wird peinlich langsam unglücklich unglücklich

Danke dir
jojo123321 Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, ich habs nicht. Also noch einamal

mit erwartungswert von = 3

[/latex]

wäre dann

was falsch ist,

verstehe nicht wie ich Regel 4 hier einsetzen kann... der zweiter Ausdruck der Ausgangsgleichung folgt bereits aus E[S_N] und ist n, quadriert dann n^2... stehe wohl gewaltig aufm Schlauch
jojo123321 Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, ich habs nicht. Also noch einmal


mit erwartungswert von = 3

[/latex]

wäre dann

was falsch ist,

verstehe nicht wie ich Regel 4 hier einsetzen kann... der zweiter Ausdruck der Ausgangsgleichung folgt bereits aus E[S_N] und ist n, quadriert dann n^2... stehe wohl gewaltig aufm Schlauch
jojo123321 Auf diesen Beitrag antworten »

erneut, nicht N, sondern eins, was dann wäre:




mit erwartungswert von = 3



wäre dann

was falsch ist,

verstehe nicht wie ich Regel 4 hier einsetzen kann... der zweiter Ausdruck der Ausgangsgleichung folgt bereits aus E[S_N] und ist n, quadriert dann n^2... stehe wohl gewaltig aufm Schlauch
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Rechnungen sind intransparent - und gerade dort, wo die Transparenz fehlt, passieren die Fehler. Ich hab z.B. keine Ahnung, wie du auf kommst, das ist grotesk abwegig. unglücklich




Das vorletzte = gilt, weil alle wie verteilt sind, man also exemplarisch mit letzterem weiterarbeiten kann. Bleibt also noch eine kleine Nebenrechnung:

.
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