Komplexe Zahlen I

03.02.2016, 15:13

Fenja

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Komplexe Zahlen I

Meine Frage:
Wir sollen hier den Betrag r und Argumet phi bestimmen

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\sqrt{2} - \sqrt{6}i\right)^4 }{\left(\sqrt{3} - i\right)^2 } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich würde folgendes machen :

1.Quadrat vom Zähler auflösen in dem ich Alles in großer Klammer Qudriere.

2 In dieser Quadratischen Klammer den Therm Mit Komplexkonjungierten Nenner Multiplizieren.

kann man das so machen ?

03.02.2016, 15:26

Mathema

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Zitat:

Quadrat vom Zähler auflösen in dem ich Alles in großer Klammer Quadriere.

Wie meinst du das?

Zitat:

Therm

Autsch!

03.02.2016, 15:37

Fenja

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Komplexe Zahlen
Das wäre mein erster Schritt

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\sqrt{2} - \sqrt{6}i\right)^4 }{\left(\sqrt{3} - i\right)^2 } = \left(\frac{\left(\sqrt{2} - \sqrt{6}i\right)^2}{\left(\sqrt{3} - i\right) }\right) ^2 \end{eqnarray*}$

03.02.2016, 15:40

Mathema

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Das kannst du so machen - ja. Dann rechne mal weiter.

03.02.2016, 16:01

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
$\begin{eqnarray*} \left( \frac{\left(\sqrt{2} -\sqrt{6} i\right)^2}{\sqrt{3} - i} * \frac{\sqrt{3} +i}{\sqrt{3} +i} \right) ^2 \end{eqnarray*}$

03.02.2016, 16:08

Mathema

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Und nun? Möchtest du nun für jeden Umformungsschritt eine Bestätigung haben? Dass eine Multiplikation mit 1 eine Äquivalenzumformung darstellt, sollte wohl klar sein.

Rechne doch die Aufgabe mal zu Ende und poste dann den gesamten Rechenweg.

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03.02.2016, 18:40

Fenja

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Ich wollte hier mein Zwischenergebnis vorstellen. wahrscheinlich ist es falsch..
wollte wissen ob ich da auf dem richtige weg bin und wo ich Fehler gemacht habe.

03.02.2016, 18:42

Fenja

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Geht das mit den oberen beiden Bildern ? sonst drehe ich die..

03.02.2016, 18:51

Mathema

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Das Problem ist eher, dass ich auf deinen Bildern nichts erkennen kann. Hab probiert mir das auszudrucken, aber das war nur Verschwendung meiner Tinte. unglücklich

unglücklich

Auch wenn es etwas Zeit kostet, wäre es wohl sinnvoll dein Rechenweg hier direkt aufzuschreiben. Dann kann ich auch besser korrigieren (sofern deine Rechnung verkehrt ist).

03.02.2016, 20:09

Fenja

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Oh tut mir Leid...
ja werde ich machen und stelle gleich rein.

03.02.2016, 20:28

Fenja

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Ich habe die Schritte Zusammengefasst.
Ich hoffe du kannst es so nachvollziehen.

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{(\sqrt{2})^2 - 2*\sqrt{2} *\sqrt{6} *i+6i^2 * (\sqrt{3} + i)}{(\sqrt{x} )^2 + \sqrt{3}i - \sqrt{3}i -i^2 } \right) ^2 \end{eqnarray*}$

soweit habe ich erstmal gerechnet.

$\begin{eqnarray*} 18-\sqrt{63}i \end{eqnarray*}$

Oben habe ich die Binomischen Formeln angewendet. ist das der richtige Schritt ?

03.02.2016, 20:38

Mathema

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Da fehlen Klammern:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\textcolor{red}{(}(\sqrt{2})^2 - 2*\sqrt{2} *\sqrt{6} *i+6i^2\textcolor{red}{)} * (\sqrt{3} + i)}{(\sqrt{\textcolor{red}{3}} )^2 + \sqrt{3}i - \sqrt{3}i -i^2 } \right) ^2 \end{eqnarray*}$

Statt dem x soll vermutlich eine 3 dort stehen. Dann vereinfache mal.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 18-\sqrt{63}i \end{eqnarray*}$

Was soll das sein?

Zitat:

Oben habe ich die Binomischen Formeln angewendet. ist das der richtige Schritt ?

Ja - wie gesagt, musst du nur noch vereinfachen. Im Nenner hättest du auch die dritte binomische Formel anwenden können und nicht die Klammern ausmultiplizieren müssen.

03.02.2016, 20:42

Fenja

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ja als x sollte eine 3 stehen...das untere sollte das " Zwischenergebnis sein" wie es aussieht war es falsch.

Ich rechne kurz noch einmal durch.

03.02.2016, 20:44

Mathema

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Das ist eine gute Idee.

03.02.2016, 21:17

Fenja

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Da bin ich wieder

Habe folgendes angestellt

$\begin{eqnarray*} \frac{2+\sqrt{48} i -6*(\sqrt{3} + i)}{4} \end{eqnarray*}$

habe natürlich auch ein anderes Zwischenergebnis:

2i-3

03.02.2016, 21:25

Mathema

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Wo sind die Klammern? Und was macht das Pluszeichen auf einmal dort?

Zudem ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\textcolor{red}{(}2\textcolor{red}{-}\sqrt{48} i -6\textcolor{red}{)}*(\sqrt{3} + i)}{4}=\frac{(-4-4\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+i)}{4} \end{eqnarray*}$

Dann mal weiter...

03.02.2016, 21:33

Fenja

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Mathema die Biblethek macht zu:-(, ich fahre nach hause jetzt muss ca. 1.5 std fahren.
sobald ich zuhause bin. mache ich weiter..du wirst wahrscheinlich nicht mehr da sein..

bis morgen dann evtl.

die antwort kommt aber bald ..

03.02.2016, 21:36

Mathema

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Alles klar - es hilft bestimmt jemand anders sonst gerne später noch weiter. Oder wir machen morgen weiter.

Eine gute Heimfahrt und einen schönen Abend!

Wink

Wink

06.02.2016, 15:40

Fenja

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sorry musste wie immer zwischendurch was anderes erledigen. daher jetzt erst die Antwort.

Ich bin auf folgendes Ergebnis gekommen :

$\begin{eqnarray*} \frac{-4\sqrt{3}-4i-4\sqrt{9} +4\sqrt{3} }{4} \end{eqnarray*}$

dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{-4i-4\sqrt{9}i}{4} \end{eqnarray*}$

und da habe ich wieder ein Fehler gemacht.. weiß aber nicht welchen..

06.02.2016, 15:52

Mathema

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Ich sehe keinen Fehler.

Was ist denn die Wurzel aus 9? verwirrt

verwirrt

06.02.2016, 16:03

Fenja

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Oh doch nicht :-)

gut danke..

ich habe dann folgendes gemacht..

$\begin{eqnarray*} \frac{4i-4*3i}{4} = i-3i = -2i \end{eqnarray*}$

hmm aber warum wird als lösung -16+oi angegeben ?

06.02.2016, 16:09

Mathema

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Weil du das rote Minuszeichen vergessen hast:

$\begin{eqnarray*} \frac{\textcolor{red}{-}4i-4\sqrt{9}i}{4} \end{eqnarray*}$

edit: Und quadrieren sollst du ja auch noch. Bin nun erstmal weg.

Wink

Wink

06.02.2016, 17:35

Fenja

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okay alles klar Wink

Wink

ja Stimmt ich habe auch zu ende gerechnet sodass ich auf - 16 +0i gekommen bin..

habe jetzt eine Frage zu bin Formeln..

bei $\begin{eqnarray*} (-i-3i)^2 \end{eqnarray*}$ kann ich anscheinend nicht die bin Formeln verwenden oder ?

das war nämlich mein Zwischenergebnis bin mit bin. Formel nicht auf das Endergebnis gekommen, sondern nur durch ausmutiplizieren.

06.02.2016, 19:08

Mathema

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Wieso das nicht?

Und wieso fasst du nicht einfach zusammen?

$\begin{eqnarray*} (-i-3i)^2=(-4i)^2=-16 \end{eqnarray*}$

Und mit bin. Formel:

$\begin{eqnarray*} (-i-3i)^2=(-i)^2-2\cdot(-i)\cdot 3i+(3i)^2=-1-6-9=-16 \end{eqnarray*}$

06.02.2016, 20:19

Fenja

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Hammer

ja du hast recht.. zusammensfassen geht auch..
bloß ich habe auch bei Wolfram Alpha für -i^2 = 1 raus bekommen..
und habe gedacht :

i^2 = -1
-i^2 = (-(-1)) = 1

deshalb ausmutipliziert..

06.02.2016, 20:23

Mathema

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Zitat:

bloß ich habe auch bei Wolfram Alpha für -i^2 = 1 raus bekommen..

Das stimmt ja auch. Aber was hat dieses mit der Aufgabe zu tun?

07.02.2016, 13:55

Fenja

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$\begin{eqnarray*} (-i-3i)^2=(-i)^2-2\cdot(-i)\cdot 3i+(3i)^2=-1-6-9=-16 \end{eqnarray*}$

da ist ja dieses
$\begin{eqnarray*} \left(-i\right)^2 \end{eqnarray*}$ und wir haben ausgerechnet dass $\begin{eqnarray*} \left(-i\right)^2 \end{eqnarray*}$ = -1

ich habe folgendes gedacht :
$\begin{eqnarray*} \left(-i\right)^2 = (-(i^2)) = (-(-1)) => i^2 = -1 = > (-(-1)) = +1 \end{eqnarray*}$

07.02.2016, 14:06

Mathema

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Alles klar. Das $\begin{eqnarray*} (-i)^2=(-1i)^2=(-1)^2i^2 \end{eqnarray*}$ gilt ist nun hoffentlich klar.

07.02.2016, 14:51

Fenja

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Ahh oky.. stimmt. man muss die 1 vor dem i beachten..

Vielen vielen dank für deine Hilfe !! Mit Zunge

Mit Zunge

Mit Zunge

07.02.2016, 14:54

Mathema

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Gerne!

Viel Erfolg weiterhin mit deinen komplexen Zahlen.

smile

smile

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