Drei Wurzeln auflösen

03.02.2016, 21:57

Zisko

Drei Wurzeln auflösen

Im Anhang befindet sich eine Abbildung mit einer Gleichung, die ich nach S auflösen möchte. Ich probier schon den ganzen Tag daran herum und komme einfach auf keinen grünen Zweig. Egal wie oft ich quadriere, eine Wurzel bleibt immer übrig unglücklich

Mit zwei Wurzeln ist das Ganze keine Problem. Bei drei geht es jedoch los. Am Ende muss ich die allgemeine Lösung finden, für die Summe über eine beliebige Anzahl an Summanden.

03.02.2016, 22:03

leoclid

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Schiebe zuerst eine Wurzel auf die linke Seite und quadriere dann.
Auf der linken Seite hast du dann keine Wurzel mehr.
Jetzt hast du noch auf der rechten Seite eine Wurzel.
Forme so um, dass auf dieser Seite wirklich nur noch diese Wurzel steht.
Dann bist du fast am Ziel!

03.02.2016, 22:06

HAL 9000

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Die Wurzeln bekommt man schon weg, aber man bekommt letztlich eine Gleichung vierten Grades für die Variable $\begin{align*} x:=S^2 \end{align*}$ , nicht gerade sehr angenehm.

Zitat:

Original von Zisko
Am Ende muss ich die allgemeine Lösung finden, für die Summe über eine beliebige Anzahl an Summanden.

Als explizite Formel? Vergiss es, da muss eine numerische Lösung ran. Augenzwinkern

03.02.2016, 22:19

Zisko

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Ich könnte mich wahrscheinlich auf 6 Wurzelsummanden beschränken. Wirklich besser wird es damit aber nicht. Bereits die drei Wurzeln resultieren in so großen Mammuth-Termen, dass ich auf eine analytische Lösung die Lust verliere Augenzwinkern

04.02.2016, 10:10

HAL 9000

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Reden wir mal grundsätzlich über die Lösbarkeit von $\begin{align*} Q = \sqrt{S^2-P_1^2}+\ldots+\sqrt{S^2-P_n^2} \end{align*}$ . Ich nehme mal an, es geht von vornherein nur um nichtnegative $\begin{align*} S,Q,P_1,\ldots,P_n \end{align*}$ , nicht wahr? Das ganze kann man als Nullstellensuche der Funktion

$\begin{align*} f(S):= \sqrt{S^2-P_1^2}+\ldots+\sqrt{S^2-P_n^2}-Q \end{align*}$

formulieren. Wenn wir zusätzlich noch $\begin{align*} m:=\min\{P_1,\ldots,P_n\} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} M:=\max\{P_1,\ldots,P_n\} \end{align*}$ betrachten, dann stellen wir erstmal fest, dass $\begin{align*} f \end{align*}$ nur für $\begin{align*} S\geq M \end{align*}$ als reelle Funktion definiert ist, d.h. es geht eigentlich um eine Funktion $\begin{align*} f:\;[M,\infty)\to \mathbb{R} \end{align*}$ . Diese Funktion ist offenbar streng monoton wachsend mit $\begin{align*} \lim_{S\to\infty} f(S)=\infty \end{align*}$ . Sie besitzt dann und nur dann eine Nullstelle $\begin{align*} S_0 \end{align*}$ , wenn $\begin{align*} f(M)\leq 0 \end{align*}$ gilt, und diese Nullstelle ist dann eindeutig.

Eine grobe Abschätzung ergibt $\begin{align*} n\sqrt{S^2-M^2}-Q \leq f(S) \leq n\sqrt{S^2-m^2}-Q \end{align*}$ . Für $\begin{align*} f(S_0)=0 \end{align*}$ bedeutet das demnach $\begin{align*} \max\left\{M,\sqrt{m^2+\frac{Q^2}{n^2}}\right\} \leq S_0 \leq \sqrt{M^2+\frac{Q^2}{n^2}} \end{align*}$ , damit hat man das Suchintervall ja schon mal eingegrenzt.

04.02.2016, 23:57

mYthos

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Zitat:

Original von leoclid
Schiebe zuerst eine Wurzel auf die linke Seite und quadriere dann.
Auf der linken Seite hast du dann keine Wurzel mehr.
...

Das kann ich nicht glauben! Q ist nicht Null.

mY+

05.02.2016, 09:13

HAL 9000

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Ja, da hat sich leoclid geirrt: Nach dieser ersten Quadrierung hat man noch je eine Wurzel links und rechts, mit den $\begin{align*} S \end{align*}$ -Polynomgraden 2 und 4 unter der Wurzel und 2 außerhalb. Umsortieren der beiden Wurzeln auf eine Seite und den Rest auf die andere Seite und anschließendes Quadrieren ergibt Polynomgrad 6 unter der dann einzigen Wurzel und 4 außerhalb. Umsortieren, erneut quadrieren beseitigt dann auch die letzte Wurzel und ergibt eine Gleichung achten Grades für $\begin{align*} S \end{align*}$ , in der allerdings nur geradzahlige Potenzen auftauchen, d.h., es ist eine Gleichung vierten Grades für $\begin{align*} S^2 \end{align*}$ .

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