Apollonian Gasket Kreisradien und Fläche

05.02.2016, 14:39

Laura G.

Auf diesen Beitrag antworten »

Apollonian Gasket Kreisradien und Fläche

Hallo

Wink

Ich habe eine Frage zur Berechnung der Keisradien und der restlichen Flächen dieses „Objektes“.
als Veranschaulichung
mathworld.wolfram.com/ApollonianGasket.html

Ich hab schon ein Teil (Kreisradien) geschaft die Radien beziehen sich auf die 3. Abbildung und 4. Abbildung.

3. Abbildung, wenn die Kreise in den 120° weitegeführt werden, haben sie jeweils den Radius von:
r(n) = r/(1/2 (2 n+3^0.5)^2-1/2)

wobei r den Radius der großen drei Kreise (außen rum) darstellt und n von 1 bis durch laufen wird.

auf der wolfram-Seite entspricht n=1 beim 2. Bild (lila Kreis), n=2 beim 3. Bild (gelber, blauer und roter Kreis) und so weiter

für die 4. Abbildung sind die Radien der Kreise die jeweils zwischen neu dazugekommen sind und zwischen einem großen Kreis mit dem Radius r und einen Kreis mit den Radius r(n) = r/(1/2 (2 n+3^0.5)^2-1/2) liegen:
r(n') = r/(8 n^2+8 (1+3^0.5) n+4 3^0.5+9) (die grünen zwischen denm roten und linanem Kreis)

Meine Frage ist daher, da es doch langsam recht schwierig wird, da die Radien der nachfolgenden Kreise von den Radien der vorherigen Kreise abhängig ist, da sich auch die Anzahl der Kreise erhöt, ob es nicht entwas einfacheres gibt um
1. die Radien und die Anzahl der Kreis nach n druchläufen zu bestimmen
2. die restliche Fläche nach n durchläufen zu bestimmen
und vielleicht noch die Mittelpunktspositon der einzelnen Kreise zu bestimmen.

Mit freundlichen Grüßen

05.02.2016, 17:39

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Radienbestimmung von derlei "Kreisberührungsproblemen" leistet eigentlich der Satz von Descartes gute Arbeit - oder arbeitest du schon mit dem?

Und wenn du weiter vorhast, so längliche Formeln zu präsentieren, dann nimm doch bitte LaTeX:

Was ist besser lesbar, r(n) = r/(1/2 (2 n+3^0.5)^2-1/2) oder $\begin{align*} r(n) = \frac{2r}{(2n+\sqrt{3})^2-1} \end{align*}$ ?

05.02.2016, 18:28

Laura G.

Auf diesen Beitrag antworten »

diese Formel sind alle aus dem - Satz von Descartes - "entsprungen" sehr mühsam, Stück für Stück zu arbeiten, weil man immer die vorrigen Radien benötigt.

wie komme ich an LaTeX (ein Link wäre gut) und ist es schwierig damit zu arbeiten?
ich habe (erstmal ohne LaTeX) die Formeln vereinfacht
r(n) = r/(2 n (n+3^0.5)+1)
r(n') = r/(8 n (n+3^0.5+1)+4 3^0.5+9)

05.02.2016, 18:36

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

So sehr mühsam ist es doch nicht: Wenn die Kreisfolge immer dieselben zwei Kreise (mit den Radienkehrwerten $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ ) sowie den "Vorgänger" in der Folge berührt, dann gilt ja laut Descartes die Differenzengleichung

$\begin{align*} k_n = 2(a+b+k_{n-1}) - k_{n-2}\qquad (*) \end{align*}$

für die Radienkehrwerte der Kreisfolge. Aus (*) folgt unmittelbar die explizite Darstellung $\begin{align*} k_n = (a+b)n^2 + cn + d \end{align*}$ , wobei die noch fehlenden Koeffizienten $\begin{align*} c,d \end{align*}$ aus den ersten beiden Kreisen dieser Folge ermittelbar sind.

05.02.2016, 19:00

Laura G.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich reflektiere es erstmal Stück für Stück, ist die erste Arbeit mit - Satz von Descartes -
__________

- sowie den "Vorgänger"

est mal haben, es ist ja nur "ein" Radius bekannt

- Descartes die Differenzengleichung

kenne ich nicht.

- folgt unmittelbar die explizite Darstellung

auch unbekannt.

- wobei die noch fehlenden Koeffizienten

erstmal wieder haben
__________

um es Stück für Stück zu verstehen, und dann selbst hinzubekommen.

05.02.2016, 19:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Laura G.
- Descartes die Differenzengleichung

Ähem, du hast den Satz grammatikalisch falsch analysiert. Big Laugh

Big Laugh

Laut "Satz von Descartes"

gilt

die Differenzengleichung

...

Zitat:

Original von Laura G.
- sowie den "Vorgänger"

est mal haben, es ist ja nur "ein" Radius bekannt

Erstaunt1

Na irgendwie musst du doch drei Kreise haben, die den Kreis berühren - kann doch nicht nur einer sein. unglücklich

unglücklich

Anzeige

05.02.2016, 20:12

Laura G.

Auf diesen Beitrag antworten »

- Differenzengleichung

ermittlung der Kreisdifferez(en) ?

- doch drei Kreise haben

die drei "außen" Kreise, die gleich groß sind mit dem Radius von r

05.02.2016, 20:32

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine: Lineare Differenzengleichung, denn (*) ist eine solche (inhomogene) lineare Differenzengleichung.

05.02.2016, 21:05

Laura G.

Auf diesen Beitrag antworten »

von lineare Differenzengleichungen habe ich keine Ahung verwirrt

verwirrt

aber bis zu ein bischen Integral- und Differentialrechnung gehts Lesen1

Lesen1

06.02.2016, 22:43

Laura G.

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie komme ich jetzt "einfach" auf die Radien und die restliche Fläche und vielleicht noch die Mittelpunktspositon nach n durchläufen?

Muss man dafür ein PC-Pogramm schreiben? verwirrt

verwirrt

Erstaunt1

Lesen2

07.02.2016, 08:40

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Vor dem Programm-Schreiben kommt doch wohl erstmal die mathematische Betrachtung. Wenn ich das richtig verstehe, geht es dir ja immer wieder um folgende Situation (siehe Skizze):

[attach]40786[/attach]

Die beiden äußeren Kreise $\begin{align*} A \end{align*}$ und $\begin{align*} B \end{align*}$ links (von denen man nur die großen Kreisbögen sieht) mögen die Radien $\begin{align*} \frac{1}{a} \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{1}{b} \end{align*}$ haben, der Kreis $\begin{align*} C_0 \end{align*}$ ganz rechts mit Mittelpunkt $\begin{align*} M_0 \end{align*}$ den Radius $\begin{align*} \frac{1}{k_0} \end{align*}$ .

Dann wird eine Kette von Kreisen $\begin{align*} (C_n) \end{align*}$ konstruiert, so dass $\begin{align*} C_n \end{align*}$ mit Mittelpunkt $\begin{align*} M_n \end{align*}$ und Radius $\begin{align*} \frac{1}{k_n} \end{align*}$ sowohl den Vorgängerkreis $\begin{align*} C_{n-1} \end{align*}$ also auch die Kreise $\begin{align*} A \end{align*}$ und $\begin{align*} B \end{align*}$ berührt. Gemäß Satz von Descartes gilt dann

$\begin{align*} k_1 = a+b+k_0 + 2\sqrt{ab+ak_0+bk_0}\qquad (1) \end{align*}$

Für $\begin{align*} n\geq 2 \end{align*}$ ist

$\begin{align*} k_n = a+b+k_{n-1} + 2\sqrt{ab+ak_{n-1}+bk_{n-1}}\qquad (2) \end{align*}$ ,

es gilt aber ebenso (da nicht nur $\begin{align*} C_n \end{align*}$ , sondern auch $\begin{align*} C_{n-2} \end{align*}$ die drei Kreise $\begin{align*} A,B,C_{n-1} \end{align*}$ berührt):

$\begin{align*} k_{n-2} = a+b+k_{n-1} - 2\sqrt{ab+ak_{n-1}+bk_{n-1}}\qquad (3) \end{align*}$ .

Die Summe aus (2)+(3) ergibt die schon genannte Differenzengleichung, etwas anders aufgeschrieben als oben

$\begin{align*} k_n = 2k_{n-1} - k_{n-2} + 2(a+b)\qquad (*) \end{align*}$ .

Mit der allgemeinen Theorie über lineare Differenzengleichungen (die ich hier nicht ausbreiten möchte) ergibt sich die homogene Lösung $\begin{align*} k_n = cn+d \end{align*}$ (d.h. für die homogene Gleichung $\begin{align*} k_n = 2k_{n-1} - k_{n-2} \end{align*}$ ), während (*) zusätzlich noch die partikuläre Lösung $\begin{align*} (a+b)n^2 \end{align*}$ hat. Zusammen ergibt das das schon erwähnte $\begin{align*} k_n = (a+b)n^2+cn+d \end{align*}$ . Die noch zu bestimmenden Parameter $\begin{align*} c,d \end{align*}$ ergeben sich aus den beiden Anfangswerten

$\begin{align*} k_0 &= d\\ k_1 &= a+b+c+d \end{align*}$

letzteres ergibt aufgelöst ja $\begin{align*} c = k_1-a-b-d = k_1-k_0-a-b \end{align*}$ , so dass wir alles in allem bei der expliziten Formel

$\begin{align*} k_n = (a+b)n^2 + (k_1-k_0-a-b)n + k_0\qquad (**) \end{align*}$

für die Kehrwerte der Radien $\begin{align*} (C_n) \end{align*}$ angelangt sind. Mit (1) könnte man natürlich auch $\begin{align*} k_n = (a+b)n^2 + 2\sqrt{ab+ak_0+bk_0}~n + k_0 \end{align*}$ schreiben.

Beispiel: Ausgangskreise mit $\begin{align*} a=b=k_0=1 \end{align*}$ ergibt mit (1) zunächst $\begin{align*} k_1 = 3+2\sqrt{3} \end{align*}$ und mit (**) dann

$\begin{align*} k_n = 2n^2 + 2\sqrt{3}n + 1 \end{align*}$ .

Du hast es oben als $\begin{align*} k_n = \frac{1}{2} \left( 2n + \sqrt{3} \right)^2 -\frac{1}{2} \end{align*}$ geschrieben, was aber inhaltlich dasselbe ist.

-------------------------------

Soweit zur Theorie. Was du daraus machst, d.h. für welche Kreise $\begin{align*} A,B,C_0 \end{align*}$ im Kontext deines "Appolonian Gasket" du derartige Kreisfolgen $\begin{align*} (C_n) \end{align*}$ betrachten willst, bleibt dir überlassen. Ich hab hier nur erstmal versucht zu verstehen und abstrahieren, was du hier

Zitat:

Original von Laura G.
für die 4. Abbildung sind die Radien der Kreise die jeweils zwischen neu dazugekommen sind und zwischen einem großen Kreis mit dem Radius r und einen Kreis mit den Radius r(n) = r/(1/2 (2 n+3^0.5)^2-1/2) liegen:
r(n') = r/(8 n^2+8 (1+3^0.5) n+4 3^0.5+9) (die grünen zwischen denm roten und linanem Kreis

so gemeint hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.02.2016, 10:43

Laura G.

Auf diesen Beitrag antworten »

CRASS

geschockt

geschockt

Freude

ich habe es mit Excel (Excel 2000) gemacht und in Teile mit GeoGebra 5.0 zu überpüfung , aber nicht so aufgeschüsselt, eher Radius für Radius und zusammengesetzt und gekürzt.

dies ist dann die aufgeschüsselte mathematische Betrachtung der Kreise die in den 120° weggehen.
r(n) = r/(2 n (n+3^0.5)+1)

ich habe noch die Radien der Kreise die jetzt noch zwischen den gezeichneten in den Zwischenräumen liegen gemacht gehabt.
r(n') = r/(8 n (n+3^0.5+1)+4 3^0.5+9)

ich hätte ja noch, die nochmals zwischen den "gegeben" Kreisen liegenden Kreis bestimmt, nur wird es mir dann aber zu aufwendig, weil es immer mehr "unterschiedliche" Radien werden

--------------

ich muss diese mathematische Betrachtung erstmal "sacken lassen" Lesen2

Lesen2

ist dies dann mit der genannten Differenzengleichung, die allgemeine aufgeschüsselte mathematische Betrachtung um alle Radien zu bestimmen?

wenn ich mir die Formel für die Radien an sehen fählt mir da ein zusammenhang auf
r/(2 n (n+3^0.5)+1)
r/(8 n (n+3^0.5+1)+4 3^0.5+9)

dieses: (n+3^0.5)+1 vieleicht habe ich bei r/(8 n (n+3^0.5+1)+4 3^0.5+9) einen Fehler gemacht und es müsste eigendlich (n+3^0.5)+1 sein statt (n+3^0.5+1), da es doch recht übersichtlich geworden ist mit Excel.

07.02.2016, 12:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Laura G.
ich habe noch die Radien der Kreise die jetzt noch zwischen den gezeichneten in den Zwischenräumen liegen gemacht gehabt. [...]

ich hätte ja noch, die nochmals zwischen den "gegeben" Kreisen liegenden Kreis bestimmt

Vielleicht machst du mal ein paar passende Skizzen dazu, denn deine Beschreibungen allein versinken ins unverbindliche, unverständliche, unkonkrete... unglücklich

unglücklich

---------------------------------------------------------------------------

Zitat:

Original von Laura G.
ist dies dann mit der genannten Differenzengleichung, die allgemeine aufgeschüsselte mathematische Betrachtung um alle Radien zu bestimmen?

Mir ist nicht ganz klar, was du mit alle Radien meinst:

Jedes Tripel von sich berührenden Kreisen $\begin{align*} (U,V,W) \end{align*}$ in deiner "Apollonian Gasket"-Konfiguration bildet nun drei neue solche Kreisfolgen $\begin{align*} (C_n) \end{align*}$ , je nachdem welcher der drei Kreise als $\begin{align*} C_0 \end{align*}$ (die anderen beiden dann als $\begin{align*} A,B \end{align*}$ ) im Sinne der obigen Betrachtungen aufgefasst wird. Und jede dieser Folgen bildet neue Tripel $\begin{align*} (A,C_n,C_{n+1}) \end{align*}$ und $\begin{align*} (B,C_n,C_{n+1}) \end{align*}$ , die wiederum neue solche Kreisfolgen gebieren...

D.h., das ganze fächert in geometrischer Komplexität auf - was willst du mit diesem ganzen Gewusel nun überhaupt anstellen? Willst du alle Radien in allen Auffächerungen bestimmen - klingt nach einem harten Stück Arbeit (alleine, da ein vernünftiges Ordnungsschema einzuführen).

07.02.2016, 13:35

Laura G.

Auf diesen Beitrag antworten »

eine Zeichnung bekoMme ich nicht eingefügt, aber ich habe das:

wolframalpha.com/input/?i=apollonian+gasket

wolframalpha.com/input/?i=apollonian+gasket&rawformassumption={%22F%22,+%22ApollonianGasket%22,+%22n%22}+-%3E%223%22&rawformassumption={%22C%22,+%22apollonian+gasket%22}+-%3E+{%22Formula%22}&rawformassumption={%22MC%22,%22%22}-%3E{%22Formula%22}

gefunden

ein bischen lang, hier zeigt wolframalpha die drite Iterationstufe und so auch die Kreis die ich meine, wo ich den Radius r(n') schon bestimmt habe

bei der Iterationstufe 2 werden nur die Kreise der je 120° gezeigt, bei der Iterationstufe 3 kommen noch die "seitlichen" Kreise hinzu die zwischen den "außen" Kreisen und den "120°" Kreisen liegen

wenn man die Iterationstufe 4 wählt sieht man das noch mehr Kreis (drei) hinzu kommen zu den "seitlichen" Kreisen, diese wollte ich nicht mehr berechen

die da dort kommende geometrischer Komplexitätist ist mir dabei nicht in den Sinn gekommen

- was willst du mit diesem ganzen Gewusel nun überhaupt anstellen?

ich wollte:
- die Radien (Kreisfäche bestimmen) und die Anzahl der Kreis nach n druchläufen zu bestimmen
- die restliche Fläche nach n durchläufen zu bestimmen
und vielleicht noch die Mittelpunktspositon der einzelnen Kreise zu bestimmen.

die Radien aller Kreise über eine Formel, wird wohl nicht gehen, aber wahrscheinlich über einzelne Abschnitte, die Anzahl der Abschnitte wächst dann wohl mit: 3^n weil es dann 3^n unterschiedliche Kreisradien gibt, oder habe ich micht mit den anwachsen der unterschiedlichen Kreisradien geirrt?

die Anzahl der Kreis nach n druchläufen habe ich glaube ich schon mit: 3*n+3^(n+1)-5

bei der restliche Fläche die übrigt bleiBt habe ich noch keinen "richtigen" Ansatz
restliche Fläche = Fläche - Summe(aller Kreisflächen)

07.02.2016, 15:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, bleiben wir doch erstmal bei diesen einfachen Iterationsstufen:

[attach]40792[/attach]

1.Stufe: 1 roter Kreis mit Radiuskehrwert $\begin{align*} 3+2\sqrt{3} \end{align*}$

2.Stufe: 3 blaue Kreise mit Radiuskehrwert $\begin{align*} 2(1+1+(3+2\sqrt{3}))-1 = 9+4\sqrt{3} \end{align*}$

3.Stufe: $\begin{align*} 3^2=9 \end{align*}$ Kreise, aufgeschlüsselt nach
a) 3 hellgrüne Kreise mit Radiuskehrwert $\begin{align*} 2(1+1+(9+4\sqrt{3}))-(3+2\sqrt{3}) = 19+6\sqrt{3} \end{align*}$
b) 6 dunkelgrüne Kreise mit Radiuskehrwert $\begin{align*} 2(1+(3+2\sqrt{3})+(9+4\sqrt{3}))-1 = 25+12\sqrt{3} \end{align*}$

In der 4.Stufe kommen dann $\begin{align*} 3^3=27 \end{align*}$ Kreise hinzu, in dann schon fünf verschiedenen Untertypen (mit Anzahlen 3+6+6+6+6). Das meinte ich oben mit "Gewusel", denn es wird natürlich von Stufe zu Stufe "schlimmer".

07.02.2016, 17:04

Laura G.

Auf diesen Beitrag antworten »

JA SO

Freude

mit der Zeichnung

das mit "schliimer" hatte ich nicht im Kopf

rot, blau und helgün und dann weiter in der Richung habe ich berechnet

die dunkelgrüne Art und dann weiter in der Richnug (zwischen blau und helgün) habe ich auch schon,
habe ich dann schon schon bis zur Stufe: 6 gearbeitet ?

mehr wäre "schlimmer" daher nicht noch mehr unterschiedliche Kreisradien (aber die, die sind, mehr werdend, ich glaube dafür muss ein neuer Ansatz her) muss reichen für:
- die Anzahl der Kreis
- die restliche Fläche
- die Mittelpunktspositon, vieleicht.

als Erklärung
(aber die, die sind, mehr werdend, ich glaube dafür muss ein neuer Ansatz her)

aber die, die sind, mehr werdend = die 120°´er Kreise und die dunkelgrünen Kreise werden mehr

ich glaube dafür muss ein neuer Ansatz her = das dann als Iterationstufen nehmen geht so nicht mehr, da ja keine "neuen" unterschiedliche Kreisradien (zwischen: rot und blau, bau und dunkelgrün,...) nicht mehr da zu kommen, so wächst das "schilmmer" nicht mehr.

07.02.2016, 17:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

(gelöscht, da wir sowieso nur aneinander vorbeireden)

08.02.2016, 00:09

Laura G.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war grade am schreiben in Word, konnte nun keine änderungen bezogen zum Pseudocode mehr mit einfügen
--------

mein wechsel, versuch. an HAL 9000

an der Zeichnung von:
HAL 9000 07.02.16, 08:40
orrientiert, passt besser,
es ist nur eine Seite dargestellt, es sind die zwischenligenden
Kreise (Zwischenkreise) zwischen je einem großen Außenkreis und je M0, M1, M2, M3 nicht dargestellt, aber in den nachflogenen Berechung mit einbezogen.
_________

in folgenden Berechnung bezieht sich n nicht auf die Iterationsstufen, hier ist n ein ganzzahliger Faktor von 1 bis n

----------

Berechnung der Anzahl der Kreise, (Kreise M0, M1, M2, M3 bis M_n) und Zwischenkreise (Kreise Z0, Z1, Z2, Z3 bis Z_n)

Anzahl aller Kreise = (n-1)*9+1
Anzahl der Kreise (M) und Zwischenkreise (Z) auf die Zeichnung bezogen
n =1, M =1 + Z =0, = 1
n =2, M =2 + Z =2, = 4
n =3, M =3 + Z =4, = 7
n =4, M =4 + Z =6, = 10

Berechnung der Restfläche, Ausgangsfläche (3^0.5-pi/2) r^2

addiert alle Kreisflächen (Kreise M0, M1, M2, M3 bis M_n)
von n=1 bis n =n

Kreisfläche für M0, M1, M2, M3 bis M_n
M0 = (r/(2 n (n+3^0.5)+1))^2*pi/4, n = 1
M1 = (r/(2 n (n+3^0.5)+1))^2*pi/4, n = 2
M2 = (r/(2 n (n+3^0.5)+1))^2*pi/4, n = 3
M3 = (r/(2 n (n+3^0.5)+1))^2*pi/4, n = 4
M_n = (r/(2 n (n+3^0.5)+1))^2*pi/4

aus wolframalpha

sum[(r/(2 n (n+3^0.5)+1))^2*pi/4,{n,1,n}]
es ist die Polygammafunktion mit enthalten
die Polygammafunktion kenne ich nicht

addiert alle Zwischenkreise (Kreise Z0, Z1, Z2, Z3 bis Z_n)
von n=1 bis n =n

Kreisfläche für Z0, Z1, Z2, Z3 bis Z_n
Z0 = (r/(8 n (n+3^0.5+1)+4 3^0.5+9))^2*pi/4, n = 1
Z1 = (r/(8 n (n+3^0.5+1)+4 3^0.5+9))^2*pi/4, n = 2
Z2 = (r/(8 n (n+3^0.5+1)+4 3^0.5+9))^2*pi/4, n = 3
Z3 = (r/(8 n (n+3^0.5+1)+4 3^0.5+9))^2*pi/4, n = 4
Z_n = (r/(8 n (n+3^0.5+1)+4 3^0.5+9))^2*pi/4

aus wolframalpha

sum[(r/(8 n (n+3^0.5+1)+4 3^0.5+9))^2*pi/4,{n,1,n}]
es ist die Polygammafunktion mit enthalen
Polygammafunktion kenne ich nicht

Restfläche

(3^0.5-pi/2) r^2 - sum[(r/(2 n (n+3^0.5)+1))^2*pi/4,{n,1,n}] - sum[(r/(8 n (n+3^0.5+1)+4 3^0.5+9))^2*pi/4,{n,1,n}]

08.02.2016, 00:15

Laura G.

Auf diesen Beitrag antworten »

mit der PC-sprache dem Pseudocode, kenne ich mich nicht aus Lesen2

Lesen2

Respekt

es ist ein Fehler in den Flächen .../4 muss weg geschockt

geschockt

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »