Schnittpunkte/winkel

25.08.2004, 16:41

blub

Schnittpunkte/winkel

kann mir jemand erklären, wie man die folgende aufgabe rechnet??
Gib schnittpunkte und größe der schnittwinkel an.

f(x)=3x²+4x+5; g(x)= 4x²-3x+6

vielen dank!

25.08.2004, 16:58

Mathespezialschüler

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RE: Schnittpunkte/winkel
Was heißt denn Schnittpunkt?? Das heißt doch, dass beide Funktionen beim Schnittpunkt den gleichen Punkt haben, also musst du die beiden funktionen gleichsetzen...
Um den Winkel zu berechnen: Tangentensteigungen über Ableitungen berechnen und dann daraus den Winkel berechnen. Dann beide Winkel subtrahieren. Oder gleich die Schnittwinkelformel anwenden:

$\begin{eqnarray*} \tan{\alpha} = \frac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \end{eqnarray*}$

und dann arctan bilden...

25.08.2004, 17:14

blub

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ich bin nicht so klug. kannst du es mir bitte vorrechnen alles? wäre dann viel einfacher für mich.

25.08.2004, 17:19

therisen

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Nein, vorgerechnet wir dir nichts. Wir wollen dir lediglich Tips geben, die dich zur Lösung führen. Jetzt verwende mal MSS' Tips und poste deine Ergebnisse hier, dann helfen wir dir weiter.

Gruß, therisen

25.08.2004, 17:23

blub

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ja aber ich hab doch keine ahnung, heul.
entweder ihr helft mir, oder nicht.

3x²+4x+5=4x²-3x+6
weiter kann ich nicht. ich steh in mathe auf 6, also verlangt es bitte nicht.

25.08.2004, 17:24

Mazze

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also erstmal, hier wird nichts vorgerechnet! Aber wir können die Aufgabe gerne zusammen durchstehen solange Du auch den Wunsch dazu hast.

Schnittpunkt:

Der Schnittpunkt zweier Funktionen hat die Eigenschaft das er sowohl Punkt auf f(x) als auch Punkt auf g(x) ist. Um jene Schnittpunkte zu erhalten werden also die beiden Funktionen gleichgesetzt

3x² + 4x + 5 = 4x² - 3x + 6

Durch äquivalente Umformungen (das solltest du beherrschen) erhälst Du höchstwahrscheinliche mehrere X-Werte. Diese setzt Du in eine Funktion ein und erhällst auch den Y-Wert des Schnittpunktes.

Schnittwinkel:

Schnittwinkel von Funktionen werden über Tangenten berechnet. Eine tangente ist eine Gerade der Form

y = mx + n

Wir brauchen lediglich m, also den Anstieg beider Tangenten. (thx MSS ^^) Der Anstieg der Tangente im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist gleich der Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ , also die Ableitung an der Stelle der Schnittpunkte!

edit: gerade wenn Du in Mathe 6 stehst wird es Dir NICHT helfen fertige Lösungen zu bekommen. Das dachte ich früher auch bis ich mich dazu durchgerungen hatte wirklich was zu machen und vorallem mitzudenken. Eine Lösung selbst zu finden hat viel höheren Effekt als blos einen Lösungsweg nachzuvollziehen!

25.08.2004, 17:25

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} 3x^2 + 4x + 5 = 4x^2 - 3x + 6 \end{eqnarray*}$

is doch schonmal gut. Jetzt mach mal Äquivalenzumformungen. Das musst du aus der 8. Klasse kennen! Du solltest erstmal alles auf eine Seite bringen. Augenzwinkern

edit: Mazze war schneller.
@Mazze
Man braucht nicht die Tangentengleichungen, sondern nur die Steigungen Augenzwinkern

25.08.2004, 17:29

Mazze

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Zitat:

Man braucht nicht die Tangentengleichungen, sondern nur die Steigungen

Ich vergaß, natürlich :P

Trotzdem sicher nicht schlecht wenn man mal nachvollzieht was man da eigentlich macht.

25.08.2004, 17:32

MisterSeaman

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Kennst du denn quadratische Gleichungen?

25.08.2004, 17:47

blub

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3x²+4x+5=4x²-3x+6/-4x²+3x-6
dann stände da: -x²+7x-1=0
richtig? und dann?

25.08.2004, 17:49

Mazze

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Ja ist richtig , jetzt multiplizierst Du mit -1 die Gleichung und bekommst

x² -7x + 1 = 0

Jetzt benutzt Du die PQ-Formel (Mitternachtsformel) um die 2 x-werte zu bestimmen!

25.08.2004, 17:59

blub

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ok, da hab ich dann x1=6,8 und x2=0,14 raus.
und jetzt?

25.08.2004, 18:06

Mathespezialschüler

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Jetzt hast du schon die Schnittpunkte. Jetzt brauchst du die erste Ableitung beider Funktionen um die Steigungen der Tangenten zu berechnen.

25.08.2004, 18:07

Mazze

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Das ist beides richtig ich geb dir aber einen Tip, schreibe lieber

$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{7 + \sqrt{45}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{7 - \sqrt{45}}{2} \end{eqnarray*}$

Das sieht zwar auf den ersten blick "fieser" aus ist aber 100% genau. gerundete Werte wie bei Dir können einen großen Fehler ergeben!

Die Schnittpunkte S1,S2 haben die Koordinaten

$\begin{eqnarray*} S1 =(x_1,y_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S2 =(x_2,y_2) \end{eqnarray*}$

Und es gilt

f(x) = y

Was ich Dir sagen will Du musst die y-koordinate noch berechnen, wie macht man das ? (Du Frage sollst Du beantworten!)

25.08.2004, 18:17

blub

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ok, ich würds dann leicht anders schreiben, nämlich x1= 3,5 + wurzel aus 11,25 und x2= 3,5 - wurzel aus 11,25. aber gut, danke, mach ich das lieber so.

y-koordinate berechne ich, indem ich die werte, die ich gerad rausbekommen hab, für x einsetze.
dann wären die y-werte: x1= -0,36 und x2= 0,0396 hm, komische zahlen. und nun?

25.08.2004, 18:19

blub

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ich mein natürlich y1 und y2 für die y-werte.

25.08.2004, 18:20

Mathespezialschüler

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Jetzt brauchst du die Steigungen der Tangenten beider Funktion an beiden x-Werten, die du bekommen hast.

25.08.2004, 18:21

blub

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und wie soll das gehen?

25.08.2004, 18:22

Mazze

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Also ich bekomme für

$\begin{eqnarray*} f(x_1) = 173,35255 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_2) = 5,6474508 \end{eqnarray*}$

Naja jetzt hast Du die Koordinaten der Schnittpunkte und die erste Aufgabe gelößt. Als nächstes bestimmst Du mal die erste Ableitung von f(x) und von g(x)!

25.08.2004, 18:25

blub

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f(x_1) = 173,35255
f(x_2) = 5,6474508 wieso das??

man rechnet doch 7/2+- wurzel aus (7/2)²-1
und das sind 3,5 +- wurzel aus 11,25.

25.08.2004, 18:25

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von blub
und wie soll das gehen?

Du musst die Ableitungen bilden und die beiden x-Werte in diese einsetzen Augenzwinkern

Übrigens: Mazze meint mit f(x_1) den y-Wert!!! Das schriebt man im Allgemeinen so.

25.08.2004, 18:27

Mazze

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Ehm Du verstehst meine Schreibweise nicht

$\begin{eqnarray*} x_1 = 3,5 + \sqrt{11,25} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 3,5 - \sqrt{11,25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_1) = 3*(3,5 + \sqrt{11,25})^2 + 4*(3,5 + \sqrt{11,25}) + 5 = 173.... \end{eqnarray*}$

25.08.2004, 18:32

blub

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hm? ich sollte die y-werte rauskriegen, deshalb hab ich die x-werte in die funktion x²-7x+1 eingesetzt, und dann kommen diese werte raus.

f´(x)=2x-7

25.08.2004, 18:34

Mazze

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Ja Du sollst die x werte auch einsetzen. Aber in die Ausgangsfunktion

Du musst die x werte entweder in

3x² + 4x + 5

oder aber in

4x² -3x + 6

einsetzen!

Achja, Du sollst die Ableitung von

f(x) = 3x² +4x +5
g(x) =4x² -3x + 6

bestimmen, und nicht von x² -7x +1!

25.08.2004, 18:35

blub

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achja... f´(x)=6x+4
g´(x)=8x-3

25.08.2004, 18:36

Mazze

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Die Ableitungen sind richtig , in einem früheren post hat die MSS gezeigt wie man den Winkel berechnet. Du brauchst dazu den anstieg der Tangenten in den Schnittpunkten. Der Anstieg ist

m = f'(x)

also musst Du die X-Koordinaten der Schnittpunkte in beide Ableitungen einsetzen und der Wert den Du bekommst das ist der Anstieg m.

25.08.2004, 18:38

blub

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achso, gut. habs in f(x) eingesetzt, krieg bei y1=170,92 und bei y2=5,6...
gott wie soll ich sowas je allein lösen können? ich muss euch ja nach jedem schritt fragen..

soll ich jede x-koordinate in f und g einsetzen? dann krieg ich ja vier lösungen.

edit: keine Doppelposts, melde Dich doch an dann kannst Du die Editfunktion benutzen Augenzwinkern

(Mazze)

25.08.2004, 18:47

Mazze

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Also 4 Lösungen sind erstmal korrekt Du musst sie nur richtig benutzen!

Für den Schnittwinkel gilt:

$\begin{eqnarray*} \tan{\alpha} = \frac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \end{eqnarray*}$

Du brauchst also 2 Anstiege um den Schnittwinkel zu berechnen. Du musst jeweils $\begin{eqnarray*} f'(x_1) = m_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(x_1) =m_2 \end{eqnarray*}$ bilden und $\begin{eqnarray*} f'(x_2) = m_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(x_2) =m_4 \end{eqnarray*}$ berechnen. Danach setzt Du die Werte in die Formel ein und stellst um.

25.08.2004, 18:53

blub

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ja gut, ich hab jetzt für f 2 werte und für g. du sagst, daraus krieg ich jetzt m. aber wie denn? alle zusammenzählen? hm.

25.08.2004, 18:55

Mazze

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m = f'(x)

also für x_1:

$\begin{eqnarray*} m_1 = 6*(3,5 +\sqrt{11,25}) + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_2 = 8*(3,5 +\sqrt{11,25}) - 3 \end{eqnarray*}$

25.08.2004, 18:55

blub

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ahh, sorry, jetzt versteh ichs. ich rechne es mal so.

25.08.2004, 18:55

Mathespezialschüler

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Du nimmst dir den ersten x-Wert, berechnest damit m_1, indem du in die Ableitung von f(x) einsetzt und m_2, indem du in g(x) einsetzt. Mach das erstmal und sag uns deine beiden Ergebnisse!

25.08.2004, 19:00

blub

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man ist das alles kompliziert. quälerei.
aber gut, der erste x-wert ist 6,8. wie soll ich da die ableitung einsetzen?

ihr könnt mich jetzt nicht im stich lassen. jetzt sitz ich hier, und weiß nicht weiter. unglücklich

25.08.2004, 20:09

Mazze

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Du setzt den Wert in die Ableitung ein und nicht die Ableitung in den Wert. Versuch doch wenigstens mal meien Ausführung auf der letzten Seite dazu zu verstehen.

25.08.2004, 20:44

blub

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ich hab jetzt bei m1=3,6 und bei m2=6,9 raus.
und dann 6,9-3,6/1+2,6*6,9=28,15
ist das richtig?

25.08.2004, 20:48

blub

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falsch gerechnet. 0,12 ist es.

25.08.2004, 21:51

Mathespezialschüler

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Nagut, dann ganz langsam. Du hast

$\begin{eqnarray*} x_1 = 3,5 + \sqrt{11,25} \end{eqnarray*}$

Du sollst den Wert der Ableitung an dieser Stelle berechnen.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=6x+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x)=8x-3 \end{eqnarray*}$

Jetzt setzt du für x das oben ein und rechnest aus:

$\begin{eqnarray*} f'(3,5 + \sqrt{11,25})=m_1=6(3,5 + \sqrt{11,25})+4\approx 45,1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(3,5 + \sqrt{11,25})=m_2=8(3,5 + \sqrt{11,25})-3\approx 51,8 \end{eqnarray*}$

und jetzt setzt du ein in

$\begin{eqnarray*} \tan{\alpha} = \frac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \end{eqnarray*}$

und zwar die genauen Werte, dann erhälst du:

$\begin{eqnarray*} \tan(\alpha)\approx -0,042 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha\approx -0,0424 \end{eqnarray*}$

und da hast du deinen Winkel. Und für den zweiten Wert (also $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ) machst du es jetzt genauso, nur mit dem anderen Wert.

25.08.2004, 22:50

blub

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super, danke!

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