Leistung berechnen

08.02.2016, 14:35

tz

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Leistung berechnen

Hallo Guten Tag ,

ich versuche bei folgender Aufgabe mit der Formel im Anhang die Leistung zu berechnen ,habe aber probleme zu integrieren .

Könnt ihr mir erklären wie ich die Funktion integrieren soll?

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} 1/T0* \int_{-T0/2}^{T0/2} \! (1-e^{-t-1})^2 \, dt \end{eqnarray*}$

08.02.2016, 14:39

klarsoweit

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RE: Leistung berechnen

Zitat:

Original von tz
Könnt ihr mir erklären wie ich die Funktion integrieren soll?

Nun ja, wo ist das Problem? Ich würde die Klammer im Integral ausmultiplizieren und ganz normal eine Stammfunktion bestimmen.

08.02.2016, 14:41

tz

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$\begin{eqnarray*} 1/T0* \int_{-T0/2}^{T0/2} \! (1-e^{-2t-2}) \, dt \end{eqnarray*}$

Wie integriere ich diese e Funktion nun ?

08.02.2016, 14:45

klarsoweit

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Und wieder einmal wurden die binomischen Formeln sträflich ignoriert. unglücklich

unglücklich

Und wie man eine e-Funktion integriert, sollte wohl bekannt sein. Besteht (wie hier) der Exponent aus einer linearen Funktion, kann man diesen bequem substituieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.02.2016, 14:50

tz

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$\begin{eqnarray*} 1/T0* \int_{-T0/2}^{T0/2} \! (1-2e^{-t-1}+e^{-2t-2}) \, dt \end{eqnarray*}$

Wie soll ich das jetzt genau substituieren ?

08.02.2016, 15:03

klarsoweit

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Erst mal ziehst du den Integranden auseinander. Dann kannst du das, was im Exponenten der e-Funktion steht, substituieren (falls man überhaupt keine Erfahrung mit der Integration der e-Funktion hat). Ich weiß nicht, wie ich es noch genauer beschreiben soll. geschockt

geschockt

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08.02.2016, 15:08

tz

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Ertses Intergral von 1 = t

2te Integral

$\begin{eqnarray*} 1/T0* \int_{-T0/2}^{T0/2} \! (-2e^{-t-1}) \, dt \end{eqnarray*}$

X = -t-1

X` = -1

Wie geht das jetzt weiter ?

Ich habe schon lange nicht mehr substituiert Big Laugh

Big Laugh

08.02.2016, 15:39

klarsoweit

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Setze das ein. Denke auch daran, das "dt" zu ersetzen. smile

smile

08.02.2016, 16:19

tz

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Wie setze ich genau das dt ein ?

09.02.2016, 09:56

klarsoweit

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Da du hier im Hochschulbereich postest, hatte ich erwartet, daß das Vorgehen bei der Integralsubstitution grundsätzlich bekannt ist.

Aus $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} = -1 \end{eqnarray*}$ folgt dt = -dx . Das mußt du also so im Integral ersetzen.

09.02.2016, 10:04

HAL 9000

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Ich möchte mal noch folgendes anmerken, bevor hier lustig weiter gerechnet wird:

Die Formel $\begin{align*} x(t) = 1-e^{-(t-1)} \end{align*}$ gilt nur für $\begin{align*} t\geq 1 \end{align*}$ , also wohl kaum im gesamten Integrationsintervall $\begin{align*} \left[-\frac{T_0}{2},\frac{T_0}{2}\right] \end{align*}$ . Wegen $\begin{align*} x(t)=0 \end{align*}$ für $\begin{align*} t<1 \end{align*}$ besteht demnach für $\begin{align*} T_0\geq 2 \end{align*}$ die Gleichheit

$\begin{align*} \int\limits_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} x^2(t) ~ \dd t = \int\limits_1^{\frac{T_0}{2}} \left(1-e^{-(t-1)}\right)^2 ~ \dd t \end{align*}$ .

Bin wieder weg. Wink

Wink

P.S.: Ich melde mal noch gewisse inhaltliche Zweifel an der Formel für die "zeitkontinuierliche Leistung" an: Nach allem, was man in der Aufgabenstellung so liest, geht es doch nur um die positive Zeitachse, also die "Vergangenheit" vor Zeitpunkt 0 spielt absolut keine Rolle. Wieso wird die aber in dieser Leistungsformel so stark gewichtet? M.E. würde

$\begin{align*} P = \lim_{T_0\to\infty} \frac{1}{T_0} \int\limits_0^{T_0} x^2(t) ~ \dd t \end{align*}$

irgendwie mehr Sinn ergeben. verwirrt

verwirrt

10.02.2016, 00:02

tz

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Als ergebnis soll 1/2 raus kommen ?

Weisst du wie ich genau rechnen soll?

10.02.2016, 00:05

tz

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$\begin{eqnarray*} 1/T0* \int_{-T0/2}^{T0/2} \! (-2e^{x}) \, -dx \end{eqnarray*}$

Stimmt das Integral so?

10.02.2016, 10:42

klarsoweit

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RE: Leistung berechnen

Zitat:

Original von tz
$\begin{eqnarray*} 1/T0* \int_{-T0/2}^{T0/2} \! (1-e^{-t-1})^2 \, dt \end{eqnarray*}$

Ich fasse mal die Diskussion des Themas zusammen. Korrekt muß es heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{T_0} \cdot \int_{-T_0/2}^{T_0/2} \! (x(t))^2 \, dt = \frac{1}{T_0} \cdot \int_{1}^{T_0/2} \! (1-e^{-(t-1)})^2 \, dt \end{eqnarray*}$

Nach der Umformung $\begin{eqnarray*} (1-e^{-(t-1)})^2 = 1 - 2 e^{-(t-1)} + e^{-2(t-1)} \end{eqnarray*}$ ist also eins der Integrale:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{T_0} \cdot \int_{1}^{T_0/2} \! -2e^{-(t-1)} \, dt \end{eqnarray*}$

Jetzt substituieren wir u = -(t-1) . Es folgt du = -dt. Die untere Grenze ist u_u = 0 und die obere Grenze ist $\begin{eqnarray*} u_o = -(\frac{T_0}{2} - 1) \end{eqnarray*}$ .

Alles eingesetzt ergibt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{T_0} \cdot \int_{0}^{-(T_0/2-1)} \! -2e^u \cdot (-1) \, du \end{eqnarray*}$

Jetzt Stammfunktion bestimmen und wie üblich die Grenzen einsetzen.

10.02.2016, 10:51

tz

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Müsste das Integral nicht auch 2e^u ergeben ?

Aber ich verstehe nicht so ganz wie du auf die Grenzen jetzt plötzlich kommst?

10.02.2016, 11:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von tz
Müsste das Integral nicht auch 2e^u ergeben ?

Was eine mögliche Stammfunktion angeht, ja.

Zitat:

Original von tz
Aber ich verstehe nicht so ganz wie du auf die Grenzen jetzt plötzlich kommst?

Aufgrund der Substitution u = -(t-1) kannst du leicht die untere und obere Grenze für u ausrechnen, indem du die entsprechenden Grenzen für t einsetzt. smile

smile

10.02.2016, 12:06

tz

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Also

2e^{-t0/2 -1} -1

Das wäre dann alles mit Grenzen eingesetzt?

10.02.2016, 12:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von tz
2e^{-t0/2 -1} -1

Mit korrekter Klammersetzung (diesmal achte ich mehr darauf als am Anfang) und korrekt eingesetzter unterer Grenze:

$\begin{eqnarray*} 2e^{-(T_0/2 -1)} -2 \end{eqnarray*}$

10.02.2016, 14:26

tz

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Woher kommt das -2 plötzlich her?

10.02.2016, 14:29

klarsoweit

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Hast du noch nie ein Integral ausgerechnet? verwirrt

verwirrt

"Obere Grenze in Stammfunktion eingesetzt" minus "untere Grenze in Stammfunktion eingesetzt". Lehrer

Lehrer

10.02.2016, 16:14

tz

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Ok wie gehe ich weiter vor?

11.02.2016, 08:10

klarsoweit

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RE: Leistung berechnen
Da war noch ein Integral: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{T_0} \cdot \int_{1}^{T_0/2} \! e^{-2(t-1)} \, dt \end{eqnarray*}$

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