Gleichungen für Schnitt zweier Geraden beweisen

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crushiii Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungen für Schnitt zweier Geraden beweisen
Hallo zusammen,

wir haben in der Vorlesung Geraden im wie folgt definiert:
und
.
Also einmal in Parameterdarstellung und einmal als Darstellung durch Hyperebenen.

Für den Schnitt zweier Geraden haben wir dementsprechend drei Formeln aufgestellt:



.
Wobei


Nun rechne ich für die Klausur ein paar Aufgaben durch und unter anderem scheint der Prof diese Gleichungen gerne beweisen zu lassen.
Ich habe allerdings nicht die geringste Ahnung, wie ich das machen kann!
In der Vorlesung wurden die Gleichungen einfach bekannt gemacht ohne diese zu beweisen.

Kann mir da jemand helfen?
Besten Dank im voraus!
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Lesen deiner Frage bin ich wie sooft darüber erstaunt, wie Mathematiker es schaffen, einfachste Sachverhalte künstlich in komplizierte zu verwandeln. Das Berechnen des Schnittpunktes zweier Geraden in der Ebene ist Schulstoff 8.Klasse. Von Einstein stammt das Zitat: "Seitem sich die Mathematiker um meine Theorie kümmern, verstehe ich sie selbst nicht mehr."
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Zur Sache:

Gegeben sind 4 Geraden in Parameterform bzw. in Koordinatenform wie folgt

Gerade 1 in Paranmeterform:
Gerade 2 in Parameterform:
Gerade 3 in Koordinatenform:
Gerade 4 in Koordinatenform:

sind Vektoren. sind feste Zahlen. sind variable Parameter. Gesucht sind die Schittpunkte von je 2 Geraden. Dabei gibt es mehrere Verianten:

Deine 1.Formel ist der Schnittpunkt zwischen den Geraden 1 und 2.
Deine 2.Formel ist der Schnittpunkt zwischen den Geraden 1 und 3.
Deine 3.Formel ist der Schnittpunkt zwischen den Geraden 3 und 4.

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Nun vergiss mal alles was dein Professor gesagt hat und erinnere dich an deine Schulzeit. Versuche, die Schnittpunkte selber zu berechnen wie in der Schule. In der Regel führt das auf ein Gleichungssystem. Dein Professor hat diese Gleichungssysteme mit der Cramerschen Regel gelöst, weshalb die komplizierten Ausdrücke entstehen.
crushiii Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
danke für deine Antwort. Bin voll und ganz deiner Meinung.
Mich hatten die ganzen Skalarprodukte verwirrt. Werde das heute Abend nach den Vorlesungen mal durchrechnen und mich dann zurückmelden smile
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich berechne dir mal den Schnittpunkt der beiden Geraden Nr. 1 und 2. Gleichsetzen beider Gleichungen führt auf



Dies ist ein Gleichungssystem für die beiden Parameter



Nach der Cramerschen Regel lautet die Lösung dieses Gleichungssystems




(Bitte nochmal nachrechnen!!) Diese beiden Paramneter setzen wir in die gegebenen Geradengleichungen ein und müssten beide Male denselben Schnittpunkt erhalten (=Probe)




Wenn du den Schnittpunkt hast, versuche ihn auf die gewünschet Form zu bringen, die du in deiner Frage genannt hast. Diese geforderte Darstellung der Lösung halte ich aber für unnötig - besser pseudo-intellektuell.
crushiii Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
vielen Dank nochmal.
Wegen einer anderen Klausur kam ich leider noch nicht dazu, mich damit zu beschäftigen.
Die Cramersche Regel hatten wir weder in LinA1, noch in dieser Veranstaltung, daher kann ich dein Ergebnis nicht ganz nachvollziehen.
Gibt es eine andere Möglichkeit auf die Gleichungen zu kommen?
Werde den Prof heute noch fragen, wie er sich die Lösung vorstellt.

Lese mir heute Abend den Rest an und rechne es dann so nach, wie du es vorgemacht hast!
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