Beweisaufgabe bzgl. Lin. Unabh.

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balance Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisaufgabe bzgl. Lin. Unabh.
Hallo,

Ich würde gerne eine Lösung einer Aufgabe besprechen, da ich mir nicht sicher bin, ob ich sie verstanden habe.

Aufgabe:
Seien . Seien ferner .
Man zeige:
linear unabhängig
linear unabhängig

Lösung: (Nummeriert für Kommentare später)
1. Für sind die beiden Mengen einelementig, und die Vektoren unterscheiden sich höchstens um das Vorzeichen. Daher ist die Behauptung trivial. Sei also . Wir zeigen die Richtung von links nach rechts. Da die Behauptung symmetrisch in undist, reicht diese eine Richtung zum Beweis der Äquivalenz aus.

2. Sei
3. Wir müssen zeigen, dass alle sind. Es folgt:

4.
5.
6. Die hier vorkommenden Vektoren sind nach Voraussetung linear unabhängig, also gilt: für und \lambda_i)=0[/latex]
7. Aus fürfolgt dann aber aus der letztenGleichung auch , und damit ist die Behauptung bewiesen.

Kommentar:
Nun 1. und 2. sind klar. Bei 3. ziehen wir einfach den alpaht'en Term raus. Klar ist auch wie die Schlussfolgerung in 5. 6. 7. funktioniert.

Der 4. Schritt verwundert mich aber ein wenig. Ich glaube, hier findet sich die Kernidee des beweises wieder.

Man möchte aus der linken Seite, die rechte folgern. paradoxerweise fängt man bei 2. aber mit der rechten Seite an. Bei 4. switcht man dann sozusagen (nutzt die Symmetrie) und formt um, so dass wir die Voraussetzungsaussage der linken Seiten nutzen können: Wir können nun folgern: Sehe ich es richtig, dass das wichtige hier der "switch" ist, um so einen "Zusammenhang" zwischen links und rechts herzustellen?

Ich denke, es wäre gut, wenn mir jemand mal die Idee hinter dem 4. Schritt kurz erklärt. Ich habe einfach das Gefühl, ich habs noch nicht korrekt gesehen.

Danke
strassenbahn Auf diesen Beitrag antworten »

Servus!

Ich vermute mal, dass das Rechenzeichen vor der zweiten Summe bei (4) kein + sondern ein - sein sollte.

Wir möchten, wie du bereits erkannt hast, aus der linken Seite die rechte folgern.
Dazu wäre es vielleicht sinnvoll zuerst aufzuschreiben was genau die Aussage auf der linken Seite bedeutet, früher oder später müssen wir aber anfangen mit der rechten Seite zu arbeiten.

Es ist also keineswegs paradox, dass wir hier einmal die Objekte der rechten Seite ins Spiel bringen.
Wir schreiben eine Linearkombination von Vektoren der rechten Menge auf, die den Nullvektor ergibt (das ist keine Aussage, wir haben hier einfach nur einmal die Menge ins Spiel gebracht). Wir wollen nun zeigen, dass die Faktoren dieser Linearkombination alle Null sind (= rechte Aussage).
Hierzu dürfen wir die linke Aussage verwenden.
Ich hoffe, dass macht den Ablauf klarer, so laufen derartige Beweise üblicherweise einfach ab smile

Kernidee
Nun müssen wir die linke Aussage ins Spiel bringen. Dazu versuchen wir unserer Linearkombination von Vektoren der rechten Menge als Linearkombination von Vektoren der linken Menge auszudrücken - das ist sozusagen die Kernidee des Beweises.

Zu (4)
Wir bedienen uns hier rechnerischer Tricks um zu einer Linearkombination von Vektoren der linken Menge zu kommen. Unser Ziel ist es nurmehr Summanden der Form in der Linearkombination zu haben.

Zuerst multiplizieren wird die Gleichung mit (-1). Dass erreichen wir durch Vertauschen der Summanden.

.

Wir schummeln jetzt in die Summanden.




Das teilen wir jetzt auf zwei Summen auf.


Die letzten Schritte hast du richtig verstanden, wir können jetzt folgern, dass die Koeffizienten alle null sind.

Mit der Symmetrie ist gemeint, dass wir das ganze jetzt nicht nochmal in analoger Weise aufschreiben müssen um die Gegenrichtung zu beweisen.
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schau mir das bei Gelegenheit genauer an, macht aber Sinn auf die schnelle. smile

Danke
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