Beweisaufgabe zu lin. Unabhängigkeit, die 2.

10.02.2016, 11:42	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisaufgabe zu lin. Unabhängigkeit, die 2. Hallo, und gleich nochmal ne Aufgabe wo ich einige Fragen habe. Aufgabe: $\begin{eqnarray} E_1,\dots,E_m\neq 0 \end{eqnarray}$ seien Vektoren im $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ , die paarweise aufeinander senkrecht stehen. Dann sind $\begin{eqnarray} E_1,\dots,E_m \end{eqnarray}$ linear unabhängig. (Insbesondere muss also $\begin{eqnarray} m\leq n \end{eqnarray}$ sein.) Beweis: Es sei $\begin{eqnarray} \lambda_1E_1+\dots+\lambda_mE_m=0 \end{eqnarray}$ . Diese Vektorgleichung wird auf beiden Seiten der Reihe nach mit $\begin{eqnarray} E_1,\dots,E_m \end{eqnarray}$ skalar multipliziert. Daraus folgt nacheinander $\begin{eqnarray} \lambda_1=0, \lambda_2=0,\dots,\lambda_m=0 \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} E_i\cdot E_J=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i\neq j \end{eqnarray}$ Frage: 1. Was genau meint er mit skalar multiplizieren? Ich denke er meint einfach, dass wir das Skalarprodukt betrachten. Aber, durch die explizite Erwähnung finde ich, impliziert diese Aussage, dass noch eine andere Multiplikation von 2 Vektoren möglich wäre. Ist dem so? 2. Ich seh nicht, wie man $\begin{eqnarray} E_i\cdot E_J=0 \end{eqnarray}$ die lin. unabhängigkeit folgert. Ich meine, das ist doch eher das Gegenteil. Ich möchte den Beweis man in meinen Worten folmulieren. Wir haben die gegebene Vektorgleichung $\begin{eqnarray} \lambda_1E_1+\dots+\lambda_mE_m=0 \end{eqnarray}$ nun gilt, $\begin{eqnarray} E_i\cdot E_J=0 \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} E_i\cdot E_i\neq 0 \end{eqnarray}$ . Wenn wir nun das i-te E multiplizieren, verschwinden alle Terme (wegen dem Skalarprodukt) bis auf den i-ten. Wir kriegen: $\begin{eqnarray} \lambda_i\cdot E_i=0 \Rightarrow \lambda_i=0 \end{eqnarray}$ Daraus folgt die Behauptung. Ich bin mir eigentlich sicher, dass ichs verstnaden habe. Nur Frage 1. ist mir noch nicht ganz klar.
10.02.2016, 12:16	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt noch eine zweite Verknüpfung von Vektoren, dies ist das Vektorprodukt (vektorielle Multiplikation). Deren Ergebnis ist wiederum ein Vektor, währenddessen die skalare Multiplikation gegenüber dem Vektorraum nicht abgeschlossen ist, weil deren Ergebnis eine skalare Größe ist. Das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren ist Null, das folgt direkt aus der Definition des skalaren Produktes. mY+
10.02.2016, 13:29	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
huch, das Kreuzprodukt, wie konnte ich das den vergessen. :P Natürlich.
10.02.2016, 15:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt dann auch noch das Tensorprodukt, und die selten genutzte punktweise Multiplikation von Vektoren. Man kann sich auch noch unendlich viele weiteren Ausdenken.
10.02.2016, 15:50	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich ging davon aus dass man sich zur Beantwortung der Frage auf "altbewährtes" stützt. Aber danke für den Input.

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