Reelle Exponenten

12.02.2016, 01:21

rza

Reelle Exponenten

Hi Leute ! Ich hab mal ne Frage und die kommt nur von persönlichem Interesse her also ist keine Aufgabe oder so...
Gibt es eigentlich auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder einer Teilmenge davon eine Gruppenoperation mit welcher man auch reelle Exponenten definieren kann? ( ausser gewöhnliche Addition oder Multiplikation ) also $\begin{eqnarray*} \left(G, \oplus \right) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe mit $\begin{eqnarray*} G \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ kann man für reelles $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ definieren $\begin{eqnarray*} x^{\alpha} \end{eqnarray*}$ ...

Hab mir überlegt wenn mans für rationale hat dann sollte man es schnell Verallgemeinern können durch geeigneten Grenzübergang . Vielleicht könnte man so eine Gruppenoperation aus der üblichen Addition und Multiplikation definieren ... Nur iwie, da Algebra vielleicht auch nicht wirklich meins is Augenzwinkern

komm ich auf nix

Wär schön wenn jemand anderen was einfallen würde ! smile

12.02.2016, 09:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von rza
Gibt es eigentlich auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder einer Teilmenge davon eine Gruppenoperation mit welcher man auch reelle Exponenten definieren kann?

Der Satz allein wirft viele Fragezeichen auf hinsichtlich dessen, was du eigentlich willt. unglücklich

Die Gruppe sei also dein $\begin{align*} (G,\oplus) \end{align*}$ , schön, da müssen die bekannten Bedingungen erfüllt sein, dass es eine Gruppe ist. Wie kommt nun die (wie auch immer definierte) Potenz $\begin{align*} x^{\alpha} \end{align*}$ mit $\begin{align*} x\in G \end{align*}$ und $\begin{align*} \alpha\in\mathbb{R} \end{align*}$ ins Spiel? Für die musst du doch auch irgendwelche Eigenschaften fordern, und diese Forderungen stehen außerhalb der Gruppeneigenschaften von $\begin{align*} (G,\oplus) \end{align*}$ . Da du schon diese Potenzsymbolik gewählt hast, hast du da ja vielleicht schon irgendwas im Sinn - schreib es genau auf! Als Beispiel: Du willst vielleicht, dass $\begin{align*} x^n = \underbrace{x\oplus x\oplus \ldots \oplus x}_{\mbox{genau $n$ Operanden}} \end{align*}$ für natürliche Zahlen $\begin{align*} n \end{align*}$ gilt? Dann soll vielleicht auch noch die eine oder andere der bekannten Potenzregeln gelten, hier auf $\begin{align*} \oplus \end{align*}$ adaptiert ... wie auch immer, liste das genau auf.

Damit eine verlässliche Basis da ist, worüber wir hier überhaupt reden wollen.

13.02.2016, 19:58

rza

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ok also ich suche eine Gruppe $\begin{eqnarray*} (G,\oplus) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} G \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sollte möglichst nicht trivial sein, also eine offene Menge oder ein Intervall.
Desweiteren neben der Gruppeneigenschaft hätte ich gerne, dass sowas wie $\begin{eqnarray*} x^{\alpha} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert werden kann . Wenn wir ja eine Gruppe haben dann können wir ja schonmal $\begin{eqnarray*} x^{z} := x\oplus x\oplus ... \oplus x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ definieren. Nungut jetzt hätte ich dies gerne ausgedehnt auf $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auch als reelle Zahl. Für dies würde es wahrscheinlich genügen dies erstmals für $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ zu tun.

Naja und so eine Gruppe suche ich, für die diese Ausdehnung möglich ist.
Ausser natürlich so "normales " Plus oder Multiplikation.

13.02.2016, 20:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Dann soll vielleicht auch noch die eine oder andere der bekannten Potenzregeln gelten, hier auf $\begin{align*} \oplus \end{align*}$ adaptiert

Aus diesem Bereich also nichts, keine Forderungen? Erstaunt1

13.02.2016, 22:50

rza

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Ups genu sry gnz vergessen.
Ja genau es sollte noch $\begin{eqnarray*} x^{\alpha}\oplus x^{\beta} = x^{\alpha + \beta} \end{eqnarray*}$ für reelle $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ gelten . Und danke für die schnelle Antwort! smile

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