Anzahl affiner Hyperebenen bestimmen

12.02.2016, 18:42	SaltyHerring	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl affiner Hyperebenen bestimmen Aufgabe: Wieviele affine Ebenen enthält ein dreidimensionaler affiner Raum über $\begin{eqnarray} \mathbb F_{5} \end{eqnarray}$ - dem Körper mit fünf Elementen? Begründen Sie ihre Antwort! Wir haben bereits in einer Übung gezeigt, dass der Faktorraum $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ die Menger aller affiner Unterräume von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit zugrunde liegendem Vektorraum $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist. Damit ist $\begin{eqnarray} dim (V/U) = dim V - dim U = 3 - 2 = 1 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_5 \end{eqnarray}$ der körper mit fünf elementen ist, dürften doch nur $\begin{eqnarray} 5^1 \end{eqnarray}$ affine Ebene geben. Das passt aber irgendwie nicht zu einer Formel die wir mal hatten. Dort steht das für $\begin{eqnarray} \mathbb{K}=\mathbb{F}_q \end{eqnarray}$ (Körper mit q-elementen) und X einem $\begin{eqnarray} \mathbb{K} \end{eqnarray}$ -Vektorraum mit $\begin{eqnarray} \Phi(u,v)=v-u \, u,v\in X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U\leq V \end{eqnarray}$ die Anzahl von verschiedenen $\begin{eqnarray} \mathbb{K} \end{eqnarray}$ -Unterräumen der Dimension 2 gleich $\begin{eqnarray} q^2 + q +1 \end{eqnarray}$ ist. Wo liegt mein denkfehler? Edit(Nick): Latex korrigiert.
13.02.2016, 02:39	SaltyHerring	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs bereits geklärt, trdm danke

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