Abbildung linear?

14.02.2016, 11:21	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung linear? Hallo, ich habe mehrere Aufgaben ob eine Abbildung linear ist: $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{2} -> \mathbb R ^{3} <br /> <br /> F(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x+2y\\ x\\ 3y \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Ich hab jetzt keine konkrete Frage zu diesem Beispiel sondern eher generell eine Frage: Ist es zu einfach gedacht wenn ich sage, die Abbildung ist linear wenn ich einfach das x und y finde in meiner Zielmatrix? So wie bei dem Beispiel oben, ist überall x oder y zu finden -> linear abhängig. Hier noch ein anderes beispiel: $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{3} -> \mathbb R ^{2} <br /> F(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}<br /> F(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x \\ z \end{pmatrix}<br /> F(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix}<br /> F(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hier würde ich sagen: 1) Ja da spasst. 2) Ja passt auch. 3) Nein passt nicht, da an einer Position (mit dem 2er) kein x oder y oder z zu finden ist. 4) Passt auch. Ist die Denkweise so richtig oder müsste ich das anders herausfinden?
14.02.2016, 20:28	leoclid	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist überhaupt eine lineare Abbildung? In deinem Beispiel geht es jetzt konkret um Vektorräume über den reellen Zahlen. Hier muss eine Abbildung zwei Bedingungen erfüllen, damit sie linear ist. Für alle $\begin{eqnarray} x, y\in \mathbb R ^{m} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a\in \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt: 1. $\begin{eqnarray} f(ax)=af(x) \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} f(ax)=af(x) \end{eqnarray}$ Das trifft genau dann ein, wenn in jedem Feld $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ nur als Potenzen mit Exponentem $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ auftreten. Das heißt, in einem Feld darf auch nur eine reelle Zahl stehen. Es darf aber nicht sein, dass in einem Feld als Eintrag x^{2} steht. Damit du dir das ganze besser vorstellen kannst: Lineare Abbildungen sind, salopp gesagt, Verallgemeinerungen von Geraden auf mehrdimensionale Räume.
14.02.2016, 20:41	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leoclid: Wo genau liegt denn der Unterschied in deiner Bedingung 1 und 2 Und was verstehst Du unter der "Verallgemeinerung einer Geraden auf mehrdimensionale Räume"? Lineare Abbildungen im Mehrdimensionalen haben rein garnichts mit Geraden zu tun. Es kann sich beispielsweise um Spiegelungen, Drehungen oder Projektionen handeln. @Adramelec: Deine Antworten sind richtig, allerdings fehlt der Beweis. Dazu brauchst Du die beiden Kriterien, von denen leoclid die zweite hoffentlich noch korrigieren wird.
14.02.2016, 20:50	leoclid	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Helferlein. ACH VERDAMMT: Da hat sich jemand beim Übernehmen aus dem Latex Editor vertippt . Da sollte natürlich $\begin{eqnarray} f(x)+f(y)=f(x+y) \end{eqnarray}$ stehen. Und ich habe etwas falsches gesagt, konstante Summanden sind nicht erlaubt.
16.02.2016, 19:55	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für die späte Rückmeldung von mir. Ich wollte mich herzlich bedanken - der Input von dir/euch hat mir gereicht :-)

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