Urbild, Abbildungen

14.02.2016, 14:10

nao123mi

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Urbild, Abbildungen

Meine Frage:
Hallo!

ich habe eine Funktion: f(x)=(x-4)²-12 (Abbildung A nach B, A=(reele Zahlen mit x <gleich 2)
Nun soll ich die Menge $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ([-20,4]) angeben, zb als Intervall.

Meine Ideen:
Egal wie ich es berechnen will, ich komme auf kein Intervall?!
also beides ließe sich nicht berechnen.

Wie berechnet ihr das?

Hoffe auf aufschlußreiche Antworten vor der Klausur..

LG naomi

14.02.2016, 16:27

URL

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RE: Urbild, Abbildungen
Schreib dir die Definition von $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ([-20,4]) auf. Das liefert eine Ungelichungskette, deren Lösungen man schnell bestimmen kann.
Eine Skizze hilft vielleicht auch.

14.02.2016, 16:44

sebal

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RE: Urbild, Abbildungen
Schau dir erstmal die Funktion genauer an. Wie siehts mit Stetigkeit und Monotonie aus? Wie sieht die Bildmenge deiner Funktion aus, was kannst du daraus schlussfolgern? Wie URL schon meinte, ein Bild malen schadet auch definitiv nicht.

LG

14.02.2016, 16:52

nao123mi

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RE: Urbild, Abbildungen
Verstehe nicht recht.

Die Bildmenge soll erst in späteren Aufgaben bestimmt werden.. aber wäre ja größer gleich -12

Und eine Ungleichungskette? Normalerweise setze ich für y in dem fall -20 oder 4 ein und erhalte dann ein Ergebnis, was hier aber nicht möglich ist.
Meine Urbildmenge in dem Fall wäre dann die leere Menge, aber man soll ja die lösungsmenge dann als Intervall aufschreiben, was ja ausschließt, dass sie leer ist. (war eine Altklausuraufgabe)

Wie sähe der Weg aus dies schnell zu berechnen?

Entschuldige mich schonmal für Unwissenheit, bin noch im ersten Fachsemester.

LG

14.02.2016, 17:20

sebal

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RE: Urbild, Abbildungen
Hey nao123mi smile

smile

,

ich würde die Sache folgendermaßen angehen.

Zu erst musst die Funktion genauer betrachten. Wenn eine Funktion stetig ist, was in diesem Fall wichtig ist, so weis du, dass das Urbild von zusammenhängenden Mengen zusammenhängend ist. In diesem Fall kannst du dann sagen, dass du ein Intervall als Urbildmenge bekommst.

Wenn eine Funktion monoton ist, so kannst leicht sagen, welche Intervallgenzen deine Urbildmenge hat. Hättest du keine Monotone Funktion gegeben, so müsstest du auch alle Punkte zwischen den Endpunkten berücksichtigen. (bitte versuche dir das klar zu machen, Zeichnungen helfen)

Wie du richtig erkannt hast, wird die Funktion nie den Wert -20 annehmen, somit ist das Urbild für diesen Wert die leere Menge. Das ist aber kein Problem. Das Urbild deines Intervalls ist jedoch nicht die leere Menge. Mache dir klar, dass (z.B.) $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\left[-20,0\right]) \cup f^{-1}(\left[0,4\right]) =f^{-1}(\left[-20,0\right]\cup \left[0,4\right]) = f^{-1}(\left[-20,4\right]) \end{eqnarray*}$ gilt. (das gilt nicht im allgemeinen!)

14.02.2016, 17:24

URL

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RE: Urbild, Abbildungen
Keine Lust die Gleichung $\begin{eqnarray*} f^{-1}([-20,4])=\{x\in\mathbb{R}\mid -20\leq f(x) \leq 4\} \end{eqnarray*}$ aufzuschreiben?
@sebal: der thread gehört dir Wink

Wink

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14.02.2016, 17:33

nao123mi

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RE: Urbild, Abbildungen
@sebal: vielen Dank für deine Antwort!
über Monotonie und Stetigkeit haben wir in der VL leider noch nie gesprochen...aber ich versuche es mal zu verinnerlichen..

was ich mich nur frage wenn ich jetzt mein Intervall für 4 ausrechnen würde, käme ja 8 raus, aber x ist ja definiert als < gleich 2, darf das dann überhaupt sein?

danke schonmal für die Antworten smile

smile

und @URL das hatte ich schon aufgeschrieben, und wüsste ich alles würde ich nicht fragen, tut mir leid! Bin wie bereits erwähnt im ersten Fachsemester und frage nur um Hilfe weil ich es verstehen möchte.

14.02.2016, 17:45

nao123mi

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RE: Urbild, Abbildungen
@sebal:
wenn ich zb die abbildung von R nach R habe, mit der Vorschrift f(x)=|x+2|-3 habe,
ist mein f([-3,-1])=[-3,-2]
wie komme ich darauf?

tut mir leid, wenn ich zu blöd bin das nachzuvollziehen, aber das haben wir immer übersprungen, wird leider aber auch Teil der Klausur sein..

14.02.2016, 17:54

sebal

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RE: Urbild, Abbildungen
Ok, das ist ja kein Problem, gut das du es überhaupt verstehen willst Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Du meintest in deinem ersten Post, dass
$\begin{eqnarray*} f :\mathbb{R}_{\geq 2} \to \mathbb{R} , f(x):= \left(x-4\right) ^{2}-12 \end{eqnarray*}$

Somit ist es ja kein Problem, wenn du Werte herausbekommst, die größer als zwei sind. Insbesondere darfst du ja nur diese berücksichtigen, denn deine Urbildwerte dürfen nicht aus dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[-\infty ,2\right) \end{eqnarray*}$ sein.

Damit ich dir weiter helfen kann, musst du mir aber nun mal sagen, was ihr denn zur Bestimmung der Urbilder benutzen dürft.

14.02.2016, 18:00

nao123mi

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RE: Urbild, Abbildungen
ja genau das meinte ich..

wir haben dazu nichts aufgeschrieben in unserem Skript steht lediglich einmal ein Beispiel dazu, aber auch nur die Urbildmenge, und von welchem Intervall sie sein soll, mehr nicht, keine Herleitung nichts.

Wir haben also quasi immer für f(x) eine Zahl des Intervalls eingesetzt und dann das Ergebnisgenommen, was in meinem fall dann ja die leere Menge und 8 wäre also quasi [latex]f^{-1} ={8}..

14.02.2016, 18:08

nao123mi

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RE: Urbild, Abbildungen
[attach]40873[/attach]

mehr haben wir nicht

14.02.2016, 18:11

sebal

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An deiner Stelle würde ich dann so vorgehen, du zeichnest dir die Funktion in dem zu untersuchenden Intervall auf. Dann liest du den größten und kleinsten 'x' Wert ab und hast schon deine Intervallsgrenzen für dein Urbild. Ich denke andersrum weist du wies es geht.

Zu deiner anderen Funktion mach dir klar, wie die Betragsfunktion definiert ist. (für negative, positive Werte und schreib deine Funktion entsprechend um. Dann kann man es leichter sehen.

14.02.2016, 18:16

nao123mi

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okay..
also gibt es keine Art die Urbilder dann irgendwie zu berechnen?
Damit es schneller geht in einer Klausur, und auch genauer ist als abzulesen..

14.02.2016, 18:19

nao123mi

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weil wie auf dem Bild lässt sich das $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ einfach durch Einsetzen errechnen..

14.02.2016, 18:22

sebal

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Du hast da auf jeden Fall recht, ablesen ist keine genaue Methode. Kann dir aber erstmal gute Anhaltspunkte liefern, sodass du nicht wild rumprobieren musst, sondern gezielt ein paar Werte ausrechnest.
Fraglich ist nur, wie das von deinem Korrektor/in gesehen wird. Wenn ihr da aber keine Vorgehensweise besprochen habt, dann ist es auch schwer dir an dieser Stelle weiterzuhelfen.

Wenn es nochmal um die erste Funktion geht, dann kannst du das auch mit einsetzten machen. Du musst nur erkennen, dass die Werte zischen -20 und -12 nicht von der Funktion angenommen werden, somit $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\left[-20,4\right] ) = f^{-1}(\left[-12,4\right] ) \end{eqnarray*}$ gilt.

LG

14.02.2016, 18:22

nao123mi

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aber verstehe immernoch nicht, wieso es bei der 4 dann geht, weil das Urbild ist ja in der Definitionsmenge enthalten, aber diese ist kleiner gleich 2, wieso stimmt das dann?
Weil mein Urbild dann ja 8 wäre, aber 8 >gleich 2??

14.02.2016, 18:23

URL

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Du setzt in die Definition
$\begin{eqnarray*} f^{-1}([-20,4])=\{x\in\mathbb{R}\mid -20\leq f(x) \leq 4\} \end{eqnarray*}$
das hier gegebene f ein. Das liefert die Ungleichungskette
$\begin{eqnarray*} -20 \leq \left(x-4\right) ^{2}-12 \leq 4 \end{eqnarray*}$
die man wie in der Schule löst.

14.02.2016, 18:26

sebal

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Hammer

Ich hab die ganze Zeit >= 2 im Kopf gehabt. Das tut mir leid...

14.02.2016, 18:27

nao123mi

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@URL und was wäre dann die Urbildmenge?
alle Werte die dann dazwischen liegen?

Ungleichungsketten haben wir nicht gemacht, tut mir leid.

14.02.2016, 18:32

URL

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Die Urbildmenge ist die Lösungsmenge der Ungleichungskette.
Du kannst natürlich beide Ungleichungen separat betrachten und dann den Durchschnitt der beiden Lösungsmengen bilden.

14.02.2016, 18:37

nao123mi

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wie bereits gesagt haben wir keine ungleichungsketten in der schule behandelt, ich weiß also nicht wie man solche ausrechnet.

ich würde es einfach mal gerne nachvollziehen können, aber ich kann nichts nachvollziehen was ich noch nie gemacht habe.

14.02.2016, 18:47

URL

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Wie ich schon sagte, kannst du die beiden Ungleichungen
$\begin{eqnarray*} -20 \leq \left(x-4\right) ^{2}-12 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(x-4\right) ^{2}-12 \leq 4 \end{eqnarray*}$ auch getrennt betrachten.
Und ich kann mir nicht vorstellen, dass du in der Schule keine Ungleichungen behandelt hast.

14.02.2016, 18:53

nao123mi

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und dann müsste ich einmal die wurzel aus -8 ziehen, was ich ja nicht darf , und einmal hätte ich 8
x <= 8 stimmt das ?

14.02.2016, 18:59

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Nein.
Aus der ersten Ungleichung wird $\begin{eqnarray*} -8 \leq \left(x-4\right) ^{2} \end{eqnarray*}$ . Für welche $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt das?
Bei der zweiten hast du allem Anschein nach nicht bedacht, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2}=|r| \end{eqnarray*}$ gilt.

14.02.2016, 19:03

nao123mi

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das erste würde gelten für alle x aus R weil das Quadrat doch immer positiv ist?

und bei dem zweiten dann x=8 v x=-8?

14.02.2016, 19:16

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Das erste stimmt Freude

Freude

Wir haben es doch mit Ungleichungen zu tun. Also steht da $\begin{eqnarray*} |x-4|\leq 4 \end{eqnarray*}$ und das hat sicher nicht nur die Lösungen x=-8 und x=8

14.02.2016, 19:25

nao123mi

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eher dann x:
-4<=x<=8 ??

14.02.2016, 19:38

URL

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Nein. Das kann nicht stimmen, wie du leicht nachprüfen kannst, wenn du x=-4 einsetzt.
Anschaulich heißt $\begin{eqnarray*} |x-\textcolor{red}4|\leq \textcolor{blue}4 \end{eqnarray*}$ , dass die Zahl x von der Zahl $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}4 \end{eqnarray*}$ höchstens den Abstand $\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}4 \end{eqnarray*}$ hat.
Du solltest dir dringend anschauen, wie man Betragsungleichungen löst.
Wenn man die Lösung nicht direkt sieht, macht man hier eine Fallunterscheidung.

14.02.2016, 19:55

nao123mi

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-8, 0 und 8?

ich kann nicht mehr, kannst du es mir nicht einfach erklären, bitte?

14.02.2016, 20:04

URL

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Die Lösung kann ich dir sagen: Es ist das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,8] \end{eqnarray*}$
Vielleicht hilft es dir, das ganze auf der Zahlengeraden zu zeichnen.
Ich wiederhole: Du solltest dir dringend anschauen, wie man Betragsungleichungen löst.
Jedenfalls traue ich mir nicht zu, dir das im Rahmen eines Threads zu erklären. Wenn sich jemand anders berufen fühlt, immer zu.

14.02.2016, 20:35

Mathema

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Ich wollte sowieso noch was im Thread loswerden (eigentlich am Ende). Dann kann ich ja doch noch was fachliches ansprechen.

Wenn man nicht weiß, wie man eine Betragsungleichung löst, dann macht man eben keine daraus:

$\begin{eqnarray*} \left(x-4\right) ^{2}-12 \leq 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(x-4\right) ^{2}-4^2 \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-4-4)(x-4+4) \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(x-8) \leq 0 \end{eqnarray*}$

Nun muss also ein Faktor negativ und der andere positiv werden. Das kannst du, nao123mi, dir nun mal überlegen. Das Ergebnis kennst du ja nun schon.

Dennoch gilt weiterhin:

Zitat:

Du solltest dir dringend anschauen, wie man Betragsungleichungen löst.

__________________________________________________

@sebal:

Toll, dass du auch hier mithelfen möchtest. Freude

Freude

Dennoch möchte ich dich bitten in Zukunft nicht (ohne Not) in Threads einzugreifen, in denen schon Hilfestellung gegeben wurde. Sollte dir ein Fehler aufgefallen sein, oder wenn der Helfer nicht weiter weiß, gilt dieser Grundsatz natürlich nicht. Da mit URL jedoch einer unser kompetentesten Helfer hier schon geantwortet hatte, war ein eingreifen an dieser Stelle sicherlich unnötig.

__________________________________________________

@URL: Einen herzlichen Gruß und dir einen schönen Abend! Wink

Wink

14.02.2016, 20:41

URL

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@Mathema: Viele Grüße zurück Wink

Wink

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