Wohldefiniertheit der Subtraktion

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ichbins1988 Auf diesen Beitrag antworten »
Wohldefiniertheit der Subtraktion
Meine Frage:
Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe über den Nachweis dass die Subtraktion auch unabhängig vom Repräsentanten ist.
)



Meine Ideen:

[(a,b)] - [(c,d)] := [(a+d,b+c)] als Definition der Subtraktion. Davon ausgehend soll die Wohldefiniertheit gezeigt werden.
Ich habe den Ansatz bei der Addition eigentlich verstanden, aber irgendwie dann doch nicht so ganz ...
Ausgehend von der Äquivalenz (a,b) äquivalent zu (a`,b`) und (c,d) äquivalent zu (c`,d`) muss das irgendwie lösbar sein. Eigentlich auch nicht so kompliziert. ... Vielleicht hat jemand einen Tipp
(a+b`) - (c +d`)= (b+a`) - (d+c`) das ist die Ausgangsgleichung die ich umformen will ...
dann komme ich hier raus: (b-a) + (c+d) = (b`-a`) + (c`+d`)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast mindestens die Hälfte der Definition vergessen, weil Du nicht sagst, dass sein soll mit . Wohldefiniertheit einer Funktion (Operation) kann man nur zeigen, wenn man die Funktion in voller Schönheit einschließlich Definitionsbereich, Wertebereich und Angabe ihres Wertes für ein allgemeines Element des Definitionsbereiches kennt.

Warum zeigst Du nicht ganz einfach, dass eine Gruppe ist und die Subtraktion sich auf die (wohldefinierte) Addition zurückführen lässt ? (So haben wir das in der Grundschule gemacht.)
iichbins1988 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. .. Aber durch Umformung müsste ich doch eigentlich auch die Wohldefiniertheit zeigen können (zumindest war das die Aufgabe die ich nicht so ganz verstanden habe). Das ist klar dass die Aufgabe eigentlich sehr einfach ist, aber deshalb würde ich es gerne wissen wie ich letztentlich alleine durch Umformen der Ausgangsgleichung die Wohldefiniertheit beweisen kann.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist nicht sehr einfach. Sie ist völlig unlösbar, wenn Du nicht auf die vollständigen Definitionen eingehst. Dann aber hast Du 2 Möglichkeiten:
a) direkter Nachweis der Wohldefiniertheit (analog dem Nachweis für die Addition) oder
b) Nachweis über die Addition des inversen Elements (was ich für lehrreich und elegant halte)

Gleichungen aufschreiben, z.B. 5-3=4-2=3-1 , ist kein Beweis.
ich1988 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist schon klar mit der Definition- ich habe sie natürlich beachtet - nur hier nicht aufgeführt.
Da ausgehend von der Definition und Äquivalenz der Zahlenpaare [(a+b`)] = [(b+a`)] und [(c+d`)]=[(d+c´)]
habe ich gedacht dass ich einfach beide Seiten subtrahieren kann ... und davon ausgehend durch umformen die Wohldefiniertheit zeige.


(a+b') - (c+d')=(b+a') -(d+c')
(a-c)- (b-d) = (a'-c') - (b'-d')
(a-b)-(c-d)= (a'-b')-(c'-d')

Aber ich glaube dass man nicht so einfach wie mit natürlichen Zahlen rechnen darf? Irgendwo liegt ein Fehler bzw. der letztendliche Schritt fehlt... unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Problem ist wirklich, dass Du dich nicht auf die Definition ganzer Zahlen als Paare natürliche Zahlen modulo einer geeigneten Äquivalenzrelation einlassen möchtest. Du verwechselst deshalb die Rechnung in dieser Menge der ganzen Zahlen mit Rechnungen in natürlichen Zahlen. Mit anderen Worten: Was Du schreibst ist nicht definiert.

Die Äquivalenzklasse [(a,b)] natürlicher Zahlen kann man sich vorstellen als die Klasse aller Paare natürlicher Zahlen (x,y), für die a-b=x-y ist, denn genau für diese gilt die Definition a+y=b+x. Intuitiv ist damit klar, dass [(a,b)] nichts anderes ist als die Differenz a-b, also eine im herkömmlichen Sinn ganze Zahl. Dadurch motiviert sich die Definition von Addition und Subtraktion wie folgt: [(a,b)]+[(c,d)]=(a-b)+(c-d)=[(a+c,b+d], [(a,b)]-[(c,d)]=(a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c)=[(a+d,b+c)].

Die Wohldefiniertheit von Addition und Subtraktion muss dann bewiesen werden, weil das was ich hier intuitiv motiviert habe so nicht geht, wenn z.B. a<b oder c<d ist, weil dann die Differenz keine natürliche Zahl ist.

Es ist zu zeigen:
[(a,b)]=[(v,w)] und [(c,d)]=[(x,y)] , dann gilt [(a,b)]+[(c,d)]=[(v,w)]+[(x,y)] und [(a,b)]-[(c,d)]=[(v,w)]-[(x,y)]
Dieser Beweis muss konsequent mit Restklassen von Paaren natürlicher Zahlen geführt werden und NICHT durch Gleichungen, die Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen enthalten.
 
 
ich_1988 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok-ich hoffe ich störe nicht zu viel mit den Fragen... ... ja ich glaube das ist richtig erkannt, dass ich da vieles durcheinander werfe und mich nicht genau an die Definition halte. Irgendwie verstehe ich das noch nicht ganz. Ich habe zum Beispiel bei Harald Scheid, Wolfgang Schwarz -"Elemente der Arithmetik und Algebra" folgenden Beweis gelesen (zur Wohldefiniertheit der Addition):
Ich lasse die Definition mal weg ...
[(x1,x2)]~ [(x'1,x'2)] und [(y1,y2)]~ [(y'1,y'2)]
-> [(x1,x2)] +[(y1,y2)] = [(x'1,x'2)]+ [(y`1,y`2)]

Dann der Rechenweg (ohne Äquivalenzklassen)
(x1,x2) ~ (x'1,x'2) und (y1,y2)~ (y'1,y'2)
-> x1+x'2= x2+x'1 und y1+y'2=y2+y'2
=>x1+y1+x'2+y'2= x2+y2+x'1+y'1
=>(x1+y1,x2+y2)~(x'1+y'1,x'2+y'2)
-Irgendwie verstehe ich noch nicht wirklich- wie das bei der Subtraktion funktionieren kann. Sorry -aber da hakt es bei mir.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht fast gut aus. Bedenke, dass die Klassen genau dann gleich sind, wenn die Repräsentanten aequivalent sind. Also kann man statt mit Klassen mit Repräsentanten arbeiten. Irgendwo im Beweis wird dann die Definition der Äquivalenzrelation benutzt. Beachte auch, dass ein Repräsentant hier immer ein Paar natürlicher Zahlen ist.

Nachtrag: der Beweis für die Wohldefiniertheit der Subtraktion steht in einer Zeile da, man muss ihn nur verstehen.
a+d+w+x=b+c+v+y, denn nach Voraussetzung ist a+w=b+v und c+y=d+x
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