Indexziehen bei Tensoren in der SRT

14.02.2016, 20:26

MeMeansMe

Indexziehen bei Tensoren in der SRT

Hallo Leute,

ich beschäftige mich gerade über die Vorlesung in spezieller Relativitätstheorie hinaus mit Tensoren und stoße beim Indexziehen auf Probleme. Ich arbeite anhand eines Lehrbuches, in dem Tensorrechnung eingeführt wird, aber die Notation wird (aus irgendeinem Grund) schon vorausgesetzt. Da ich seit Tagen im Internet nicht auf verständliche Erklärungen gestoßen bin, versuche ich es nun hier.

Ich versuche mal, euch mein Problem zu schildern. Es geht mir zunächst erstmal nur darum, zu verstehen, wie man Indizes richtig zieht.

In dem Buch wird für den metrischen Tensor $\begin{eqnarray*} \eta_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu} \end{eqnarray*}$ geschrieben. Nun wird ein Vektor im gestrichenen System transformiert über $\begin{eqnarray*} x'^\mu = \Lambda^\mu_{\ \alpha}x^\alpha \end{eqnarray*}$ .

Nun fangen die Probleme an: im Text steht dann, dass

$\begin{eqnarray*} \eta^{\kappa\alpha}\Lambda^\mu_{\ \alpha}\eta_{\mu\nu} = \Lambda_\nu^{\ \kappa} \end{eqnarray*}$

gilt. Wieso ist das nicht gleich $\begin{eqnarray*} \Lambda^\kappa_{\ \nu} \end{eqnarray*}$ ? Mir ist auch nicht klar, was der Unterschied ist zwischen beispielsweise $\begin{eqnarray*} \Lambda_\alpha^{\ \beta} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \Lambda_{\ \alpha}^\beta \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \Lambda^\alpha_{\ \beta} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Lambda^{\ \alpha}_\beta \end{eqnarray*}$ . Und wenn man die Tensoren hier als Matrizen auffasst, welche Indizes stehen dann für die Spalten und welche für die Zeilen?

Ich hoffe, ihr habt Verständnis, dass ich mich etwas schwer tue, da ich mich erst seit ein paar Tagen damit beschäftige. Ich hoffe, sowas geht einem irgendwann ins Blut über - so wie andere Dinge auch.

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe smile

15.02.2016, 09:37

Elvis

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Auch wenn man glaubt, Tensorräume und Tensoren in der linearen Algebra verstanden zu haben, hat man immer Probleme mit der Schreibweise der Physiker. Für Physiker ist es bestimmt sinnvoll, mit möglichst vielen Abkürzungen und möglichst wenig Nachdenken über die mathematischen Grundlagen zu arbeiten, das geht dann "leichter und schneller". Tipp: Frage die Physiker (Mathematiker können dir nur die theoretischen Grundlagen erklären, sie verstehen selten das, was die Physiker machen. Ausnahmen sind nur die Mathematiker, die lange genug Physik gemacht haben; solche Menschen nennt man Physiker.)

15.02.2016, 09:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvis
Mathematiker können dir nur die theoretischen Grundlagen erklären, sie verstehen selten das, was die Physiker machen. Ausnahmen sind nur die Mathematiker, die lange genug Physik gemacht haben; solche Menschen nennt man Physiker.

Könnte direkt von Sheldon Cooper stammen. Big Laugh

15.02.2016, 10:04

Ehos

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Ich erkläre es mal im 2-dimensionalen Minkowskiraum. Dort ist die Rechnung prinzipiell wie im 4D-Fall.
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In Matrixschreibweise lauten die Lorentztransformation und der metrische Tensor

$\begin{eqnarray*} \Lambda =\tfrac{1}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}} \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{v}{c} \\ -\tfrac{v}{c} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \eta=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bekanntlich erhält man die inverse Lorentransformation durch Umkehrung des Vorzeichens der Geschwindigkeit v. Man ersetzt also $\begin{eqnarray*} v\rightarrow -v \end{eqnarray*}$ . Das ergibt die Inverse

$\begin{eqnarray*} \Lambda^{-1} =\tfrac{1}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}} \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{v}{c} \\ \tfrac{v}{c} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Offenbar erhält man dieselbe Inverse auch durch folgende Matrixmultiplikation

$\begin{eqnarray*} \Lambda^{-1} =\eta \Lambda \eta \end{eqnarray*}$ .

Ausführlich bedeutet das (Rechne das mal nach!!!)

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\tfrac{1}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}} \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{v}{c} \\ \tfrac{v}{c} & 1 \end{pmatrix}}_{\Lambda^{-1}} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\underbrace{\tfrac{1}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}} \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{v}{c} \\ -\tfrac{v}{c} & 1 \end{pmatrix}}_{\Lambda}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Diese Gleichung lautet in Indexschreibweise

$\begin{eqnarray*} {\Lambda_{i'}}^{k'}=\eta_{i'i}{\Lambda^i}_k \eta^{kk'} \end{eqnarray*}$

Dabei senkt die Matrix $\begin{eqnarray*} \eta_{ii'} \end{eqnarray*}$ den Index i und die Matrix $\begin{eqnarray*} \eta^{kk'} \end{eqnarray*}$ hebt den Index k in der Lorentztarsnformation $\begin{eqnarray*} {\Lambda^i}_k \end{eqnarray*}$ , so dass das Ergebnis folgerichtig lautet $\begin{eqnarray*} {\Lambda_{i'}}^{k'} \end{eqnarray*}$ . Wichtig bei der Darstellung einer Matrixmultiplikation zweier Matrizen $\begin{eqnarray*} A={A^i}_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B={B^k}_j \end{eqnarray*}$ in Indexschreibweise ist folgendes: Beim Matrixprodukt $\begin{eqnarray*} AB={A^i}_k{B^k}_j \end{eqnarray*}$ muss der Summationsindex k "innen" stehen, wogegen die beiden Indizes i, j, über die nicht summiert wird, "außen" stehen müssen. Diese Regel habe ich bei der obigen Formel $\begin{eqnarray*} \eta_{i'i}{\Lambda^i}_k \eta^{kk'}={\Lambda_{i'}}^{k'} \end{eqnarray*}$ beachtet. Du bist wahrscheinlich verwirrt, weil in deinem Text steht $\begin{eqnarray*} \eta^{kk'}{\Lambda^i}_k \eta_{i'i}={\Lambda_{i'}}^{k'} \end{eqnarray*}$ . Dabei hat man die Reihenfolge der beiden Matrizen $\begin{eqnarray*} \eta^{kk'} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta_{ii'} \end{eqnarray*}$ vertauscht. Das ist nicht falsch, weil man natürlich inberhalb eines Produktes die Reihenfolge vertauschen darf. Es ist aber übersichtlicher, wenn man die obige Regel bei Matrizenmultiplikationen beachtet.

15.02.2016, 14:18

MeMeansMe

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@Ehos: Das hat es deutlich klarer gemacht, danke sehr. Man darf die Reihenfolge der Matrizen/Tensoren verändern, da man ja über deren Einträge summiert, oder?

@Elvis: Ich finde es oft tatsächlich etwas frustrierend, wenn man einfach irgendwelche Mathematik anwenden muss, ohne zu verstehen, was dahinter steckt. In diesem Beitrag ging es mir erstmal rein um die Notation, um dem Inhalt des Buches folgen zu können. Ich werde auch versuchen, mir (soweit wie möglich) die notwendige Mathematik anzueignen, um nicht nur mit Indizes zu spielen, sondern auch zu verstehen, was da eigentlich passiert. Gerade in der theoretischen Physik ist das wichtiger, als man vielleicht meint, bin ich der Meinung.

Wo wir gerade dabei sind: Könnt ihr mir Lehrwerke (Bücher, Skripte...) nennen, die euch geholfen haben und die sich eignen, um sich die mathematischen Hintergründe beizubringen? Ich werde mich demnächst intensiver auf die Suche begeben, aber es kann nicht schaden, schon mal einen Ansatz zu haben smile

15.02.2016, 14:38

Elvis

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Ich kenne nur den H.-J. Kowalsky (6. Auflage, 1972 ) https://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/An...or=H.J.Kowalsky . Vermutlich gibt es neuere Lehrbücher "Lineare Algebra" , aber ich weiß nicht, wo Tensorräume so gut dargestellt werden .

15.02.2016, 14:55

MeMeansMe

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Ok, ich werd mich mal durchwühlen. Danke smile

16.02.2016, 09:22

Ehos

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Bei der Indexschreibweise kann man die Reihenfolge der Faktoren beliebige vertauschen.

Beispiel 1: Matrixmultiplikation

Bekanntlich darf man in der Matrixschreibweise die Reihenfolge der beiden Matrizen A, B im Matrixproduktes AB nicht vertauschen, also $\begin{eqnarray*} AB\neq BA \end{eqnarray*}$ . In der Indexschreibweise ist dagegen ein Vertauschen möglich, also $\begin{eqnarray*} A{^i}_j {B^j}_k={B^j}_kA{^i}_j \end{eqnarray*}$ , weil alle Indizes i, j, k beim beim Vertauschen nicht verändert werden.

Beispiel 2: Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Angenommen eine Matrix A wirkt auf einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ . In Matrixschreibweise schreibt man $\begin{eqnarray*} A\vec x \end{eqnarray*}$ und in Indexschreibweise $\begin{eqnarray*} {A^i_j}x^j=x^j{A^i_j} \end{eqnarray*}$ . Bei der Indexschreibweise darf man also wie oben die Reihenfolge der Faktoren vertauschen. Vertauscht man dagegen die Reihenfolge der Indizes innerhalb der Matrix gemäß $\begin{eqnarray*} {A^i}_j\rightarrow {A_j}^i \end{eqnarray*}$ , so hat man $\begin{eqnarray*} {A_j}^ix^j=x^j{A_j}^i \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet $\begin{eqnarray*} \vec xA=A^T\vec x\neq A\vec x \end{eqnarray*}$ . Wenn die Matrix A symmetrisch ist, also $\begin{eqnarray*} {A^i}_j={A_j}^i \end{eqnarray*}$ , dann dieses ist dieses Vetrauschen der Indexreihenfolge erlaubt (wie z.B. bei der symmetrischen Lorentztransformation).
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Hinweis:
Man sollte die Indexschreibweise vermeiden (wenn möglich), denn sie ist nicht gerade übersichtlich. Hat man aber Tensoren mit mehr als 2 Indizes, wird diese Indexschreibweise unvermeidbar. In der Elektrodynamik hat man z.B. den Drehimpulstensor $\begin{eqnarray*} M^{ijk} \end{eqnarray*}$ mit 3 Indizes oder in der Relativitätstheorie den Krümmungstensor $\begin{eqnarray*} R^{hijk} \end{eqnarray*}$ mit 4 Indizes.

16.02.2016, 10:47

MeMeansMe

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Super, danke, es ist viel klarer geworden. Bei weiteren Schwierigkeiten werde ich mich melden.

16.02.2016, 11:09

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Ehos
Wichtig bei der Darstellung einer Matrixmultiplikation zweier Matrizen $\begin{eqnarray*} A={A^i}_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B={B^k}_j \end{eqnarray*}$ in Indexschreibweise ist folgendes: Beim Matrixprodukt $\begin{eqnarray*} AB={A^i}_k{B^k}_j \end{eqnarray*}$ muss der Summationsindex k "innen" stehen, wogegen die beiden Indizes i, j, über die nicht summiert wird, "außen" stehen müssen. Diese Regel habe ich bei der obigen Formel $\begin{eqnarray*} \eta_{i'i}{\Lambda^i}_k \eta^{kk'}={\Lambda_{i'}}^{k'} \end{eqnarray*}$ beachtet. Du bist wahrscheinlich verwirrt, weil in deinem Text steht $\begin{eqnarray*} \eta^{kk'}{\Lambda^i}_k \eta_{i'i}={\Lambda_{i'}}^{k'} \end{eqnarray*}$ . Dabei hat man die Reihenfolge der beiden Matrizen $\begin{eqnarray*} \eta^{kk'} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta_{ii'} \end{eqnarray*}$ vertauscht. Das ist nicht falsch, weil man natürlich inberhalb eines Produktes die Reihenfolge vertauschen darf. Es ist aber übersichtlicher, wenn man die obige Regel bei Matrizenmultiplikationen beachtet.

Vor allem ist es wichtig, dass der Index, über den summiert wird, einmal oben und einmal unten steht. Ob innen oder außen, ist dabei eigentlich egal.

16.02.2016, 11:32

Ehos

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@RavenOnJ
Ich meinte es wie folgt

Beim Matrixprodukt muss der Summationsindex "innen" stehen (=Variante 1). Oder: Es muss möglich sein, dass der Summatinsindex durch (erlaubte) Vertauschung der Reihenfolge der Faktoren nach "innen" kommt (Variante 2). Diese beiden Varianten lauten $\begin{eqnarray*} AB={A^i}_k{B^k}_j={B^k}_j{A^i}_k \end{eqnarray*}$

Falsch wären dagegen die Varianten $\begin{eqnarray*} AB={A_k}^i{B^k}_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} AB={A^i}_k{B_j}^k \end{eqnarray*}$ , weil man hier durch keine Vertauschung der Reihenfolge der Faktoren erreichen kann, dass der Summationsindex k nach "innen" kommt.

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