Orthonormalisieren mit Gram–Schmidt Verfahren

16.02.2016, 16:34

amateurphysiker_

Orthonormalisieren mit Gram–Schmidt Verfahren

Ich versuche gerade die Norm bei Teil b) zu berechnen, versteh es aber nicht ganz.

Irgendwie gibt es ja verschiede Normen, ist die in Proposition 2.3.6 aufgefuehrte Definition die einzige Norm für unitäre/euklidische Räume oder gibt es da noch mehrere?

Falls ich diese Definition verwende würde ich ja das erhalten:
$\begin{eqnarray*} | a_{1} |=\sqrt{1^{2} }=1 \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt? Bei uns in der Vorlesung steht da irgendwie $\begin{eqnarray*} | a_{1} |=\sqrt{2 } \end{eqnarray*}$ , kann das aber nicht nachvollziehen..

Danke!

16.02.2016, 17:49

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RE: Orthonormalisieren mit Gram–Schmidt Verfahren
Es ist eine mögliche Norm auf einem solchen Raum und meist wird diese verwendet. Es ist nicht die einzige.
Man könnte in dem Beispiel auch $\begin{eqnarray*} \|f\|_p:=\left(\int_{-1}^1|f(t)|^p\,dt\right)^{1/p} \end{eqnarray*}$ verwenden.

Also ich komme auch auf $\begin{eqnarray*} | a_{1} |=\sqrt{2 } \end{eqnarray*}$ . Was hast du gerechnet?

Edit: Ein anderes, vielleicht etwas handlicheres Beispiel für eine Norm wäre $\begin{eqnarray*} \|f\|_\infty:=\max_{-1\leq x\leq 1}|f(x)| \end{eqnarray*}$

16.02.2016, 19:58

amateurphysiker_

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RE: Orthonormalisieren mit Gram–Schmidt Verfahren
Hi URL, danke!

Hab gerade meinen Fehler gesehen, habe das Skalarprodukt falsch berechnet!

Also wenn es unterschiedliche Normen gibt, bedeutet das, dass da auch jeweils etwas anderes rauskommt oder fuehren alle zum gleichen Ergebnis? Falls ersteres der Fall ist, woher weiss man denn welche man verwenden soll? In der Aufgabe ist ja nichts angegeben.

Danke!

Edit:

Zitat:

Original von URL
Ein anderes, vielleicht etwas handlicheres Beispiel für eine Norm wäre $\begin{eqnarray*} \|f\|_\infty:=\max_{-1\leq x\leq 1}|f(x)| \end{eqnarray*}$

Da wuerde dann aber 1 rauskommen fuer die Norm oder? Also ein anderes Ergebnis..

16.02.2016, 23:43

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RE: Orthonormalisieren mit Gram–Schmidt Verfahren
Wie du schon selbst heraus gefunden hast, können da durchaus verschiedene Werte heraus kommen.

Für Gram-Schmidt brauchst du ein Skalarprodukt. Wenn du dir die Formeln - und die Herleitung davon - genau anschaust, wirst du sehen, dass dabei genau die Norm verwendet wird, die vom Skalarprodukt induziert wird.

17.02.2016, 17:21

amateurphysiker_

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RE: Orthonormalisieren mit Gram–Schmidt Verfahren
Ok danke! Also kann ich mir einfach merken, dass beim GSV immer die o.g. Norm verwendet wird?

17.02.2016, 20:36

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RE: Orthonormalisieren mit Gram–Schmidt Verfahren
ja