Surjektiv, Körper, Charakteristik

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StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektiv, Körper, Charakteristik
Meine Frage:
Sei p eine Primzahl und K ein endlicher Körper mit Charakteristik p.
Zeige mit ist ein Automorphismus.

Meine Ideen:
Hallo
Das ein Monomorphismus ist habe ich bereits gezeigt bleibt die surjektivität.
Ich würde diese gerne explizit ohne den Satz:
und A endlich
So ist f injektiv surjektiv

Liege ich richtig, dass K von der Anzahl p Elemente haben müsste?

Sei ein beliebiges Element von K.
ZZ.:

LG,
MaGi
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo StrunzMagi,

Zitat:
Liege ich richtig, dass K von der Anzahl p Elemente haben müsste?


Nein, es gibt ein , sodass genau Elemente hat.

Zeige mit dem Satz von Lagrange, dass dann für alle .
Überlege dir, wie du damit die Surjektivität zeigen kannst.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

> Nein, es gibt ein , sodass genau Elemente hat.
Wie folgt das aus der Charakeristik?


Die Ordnung eines jeden Elementes aus K teilt die Gruppenordnung: gilt .
Daraus folgt d.h.
Multipliziere mit a, so erhalte ich

Ich komme leider nicht auf dein Eregbnis für alle .
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
falls guppi gerade nicht da ist, funke ich mal dazwischen.
Denke daran, die multiplikative Gruppe eines Körpers mit p^k Elementen
hat nur p^k -1 Elemente, die null fällt ja weg... Augenzwinkern
gruss ollie3
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke fürs Übernehmen, ollie smile

Zitat:
Wie folgt das aus der Charakeristik?

Das ist keine direkte Konsequenz aus der Definition der Charakteristik. Wenn du den einfachsten Beweis einer Gegebenheit ausschlägst, musst du damit rechnen, dass etwas mehr Hintergrundwissen benötigt wird.

Jeder Körper ist ein Vektorraum über seinem Primkörper. Wenn die Charakteristik eines Körpers ist, so ist sein Primkörper gerader der Körper mit Elementen. Wenn der Körper endlich ist, muss es sich dann offensichtlich um einen endlich-dimensionalen Vektorraum handeln, der ist also isomorph (als -Vektorraum) zu für ein . Daraus kannst du die Mächtigkeit von ablesen.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Ich verstehe, dass K ein Vektorraum über seinen Primkörper P ist. Der Primkörper ist wegen Charkteristik p zu Z_p isomorph.
Brauchst du nicht nun, dass und der Primkörper P endlich sind umzu folgen, dass ist?
Den Schluss verstehe ich dann leider nicht mehr. Vllt. kannst du mir das nochmal genauer erklären zum Ende hin?

Das Bsp hätte ich sonst verstanden mit deiner und ollie`s HilfeAugenzwinkern
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Brauchst du nicht nun, dass und der Primkörper P endlich sind umzu folgen, dass ist?


Doch, aber du hast doch oben gefordert, dass endlich ist?


Zitat:
Sei p eine Primzahl und K ein endlicher Körper mit Charakteristik p.



Zu dem Schluss: dir sollte aus der linearen Algebra bekannt sein, dass ein dimensionaler Vektorraum isomorph ist zu , das macht man im ersten Semester.
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