Surjektiv, Körper, Charakteristik |
20.02.2016, 21:18 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Surjektiv, Körper, Charakteristik Sei p eine Primzahl und K ein endlicher Körper mit Charakteristik p. Zeige mit ist ein Automorphismus. Meine Ideen: Hallo Das ein Monomorphismus ist habe ich bereits gezeigt bleibt die surjektivität. Ich würde diese gerne explizit ohne den Satz: und A endlich So ist f injektiv surjektiv Liege ich richtig, dass K von der Anzahl p Elemente haben müsste? Sei ein beliebiges Element von K. ZZ.: LG, MaGi |
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21.02.2016, 00:49 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo StrunzMagi,
Nein, es gibt ein , sodass genau Elemente hat. Zeige mit dem Satz von Lagrange, dass dann für alle . Überlege dir, wie du damit die Surjektivität zeigen kannst. |
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21.02.2016, 10:41 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo! > Nein, es gibt ein , sodass genau Elemente hat. Wie folgt das aus der Charakeristik? Die Ordnung eines jeden Elementes aus K teilt die Gruppenordnung: gilt . Daraus folgt d.h. Multipliziere mit a, so erhalte ich Ich komme leider nicht auf dein Eregbnis für alle . |
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21.02.2016, 12:54 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, falls guppi gerade nicht da ist, funke ich mal dazwischen. Denke daran, die multiplikative Gruppe eines Körpers mit p^k Elementen hat nur p^k -1 Elemente, die null fällt ja weg... gruss ollie3 |
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21.02.2016, 15:09 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke fürs Übernehmen, ollie
Das ist keine direkte Konsequenz aus der Definition der Charakteristik. Wenn du den einfachsten Beweis einer Gegebenheit ausschlägst, musst du damit rechnen, dass etwas mehr Hintergrundwissen benötigt wird. Jeder Körper ist ein Vektorraum über seinem Primkörper. Wenn die Charakteristik eines Körpers ist, so ist sein Primkörper gerader der Körper mit Elementen. Wenn der Körper endlich ist, muss es sich dann offensichtlich um einen endlich-dimensionalen Vektorraum handeln, der ist also isomorph (als -Vektorraum) zu für ein . Daraus kannst du die Mächtigkeit von ablesen. |
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22.02.2016, 00:17 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, Ich verstehe, dass K ein Vektorraum über seinen Primkörper P ist. Der Primkörper ist wegen Charkteristik p zu Z_p isomorph. Brauchst du nicht nun, dass und der Primkörper P endlich sind umzu folgen, dass ist? Den Schluss verstehe ich dann leider nicht mehr. Vllt. kannst du mir das nochmal genauer erklären zum Ende hin? Das Bsp hätte ich sonst verstanden mit deiner und ollie`s Hilfe |
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22.02.2016, 00:28 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Doch, aber du hast doch oben gefordert, dass endlich ist?
Zu dem Schluss: dir sollte aus der linearen Algebra bekannt sein, dass ein dimensionaler Vektorraum isomorph ist zu , das macht man im ersten Semester. |
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