Primfaktorzerlegung und Teilbarkeit

26.02.2016, 09:37

Prisma

Primfaktorzerlegung und Teilbarkeit

Meine Frage:
Hallo ich hätte eine Frage: wie kann man denn über die Primfaktorzerlegung etwas über die Teilbarkeit einer Zahl sagen?

Wenn jetzt beispielsweise Zahl a mit
a = 2^5 * 3^2 *5^4 * 7^15*13^12 gegeben ist.

Meine Ideen:
Ich schau mir ja eigentlich die Potenzen an um etwas über die Teilbarkeit auszusagen..

26.02.2016, 09:50

HAL 9000

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Was genau willst du zur Teilbarkeit dieser Zahl sagen? Welche Teiler sie hat? Oder wieviel (positive) Teiler sie hat, d.h., nur deren Anzahl? Oder was anderes? verwirrt

26.02.2016, 09:53

Prisma

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Ne, ich soll angeben nach welchem Kriterium man die Teilbarkeit mithilfe der PFZ zeigen kann... und dann mithilfe der Primfaktorzerlegung überprüfen ob gilt: b teilt a

26.02.2016, 09:55

HAL 9000

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Ach so - dann wundert es mich aber, dass du nur eine Zahl angegeben hast.

26.02.2016, 09:59

Prisma

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Die anderen beiden Zahlen sind:

b=2^3*3^2*7^12*13^11

c= 2^3*3*5^4*7^15*13^11

26.02.2016, 10:03

HAL 9000

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Die positiven Teiler $\begin{align*} b \end{align*}$ von $\begin{align*} a = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7^{15} \cdot 13^{12} \end{align*}$ besitzen die Gestalt $\begin{align*} b = 2^{e_2} \cdot 3^{e_3} \cdot 5^{e_5} \cdot 7^{e_7} \cdot 13^{e_{13}} \end{align*}$ mit $\begin{align*} 0\leq e_2\leq 5 \end{align*}$ , $\begin{align*} 0\leq e_3\leq 2 \end{align*}$ , $\begin{align*} 0\leq e_5\leq 4 \end{align*}$ , $\begin{align*} 0\leq e_7\leq 15 \end{align*}$ und $\begin{align*} 0\leq e_{13}\leq 12 \end{align*}$ .

Dann und nur dann, wenn $\begin{align*} b \end{align*}$ keine weiteren Primfaktoren als $\begin{align*} a \end{align*}$ enthält sowie die Exponenten $\begin{align*} e_2,\ldots,e_{13} \end{align*}$ die genannten Bedingungen erfüllen, ist $\begin{align*} b \end{align*}$ ein Teiler von $\begin{align*} a \end{align*}$ .

EDIT: Schreibfehler korrigiert.

26.02.2016, 10:10

Prisma

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Ok, das würde ja bedeuten b teilt a nicht?
Und was kann man jetzt allgemein über die Teilbarkeit einer Zahl mit der PFZ aussagen?

26.02.2016, 10:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Prisma
Ok, das würde ja bedeuten b teilt a nicht?

Wieso nicht?

26.02.2016, 10:39

Prisma

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... da b noch weitere Primfaktoren bestitzt

26.02.2016, 10:40

HAL 9000

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Ich sehe keine. unglücklich

Wir reden doch von $\begin{align*} b=2^3\cdot 3^2\cdot 7^{12}\cdot 13^{11} \end{align*}$ , oder? verwirrt

26.02.2016, 10:51

Prisma

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Ahja sorry, ich hatte b mit a verwechselt. Ergo: b teil a

26.02.2016, 10:56

HAL 9000

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Hmm, war auch meine Schuld - oben muss es natürlich $\begin{align*} {\color{red}b} = 2^{e_2} \cdot 3^{e_3} \cdot 5^{e_5} \cdot 7^{e_7} \cdot 13^{e_{13}} \end{align*}$ heißen (ich hatte dort erst a statt b geschrieben, verdammtes Copy+Paste Augenzwinkern

26.02.2016, 11:14

Prisma

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Also dann teilt b a...

Ist das jetzt auch das Kriterium mit der die Teilbarkeit mithilfe der Primfaktorzerlegung gezeigt werden kann. ich verstehe nämlich den Aufgabenteil a) nicht richtig.

26.02.2016, 11:23

HAL 9000

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Naja das Kriterium ist, dass jeder Primfaktor in der PFZ von $\begin{align*} b \end{align*}$ auch in der PFZ von $\begin{align*} a \end{align*}$ enthalten sein muss, und zwar in mindestens ebenso hoher Potenz (z.B. Primfaktor 7 ist in $\begin{align*} b \end{align*}$ als Potenz $\begin{align*} 7^{12} \end{align*}$ enthalten, in $\begin{align*} a \end{align*}$ aber sogar in höherer Potenz $\begin{align*} 7^{15} \end{align*}$ ).

Für dein spezielles $\begin{align*} a \end{align*}$ hatte ich oben dann formelmäßig ausgeschrieben, was das für die PFZ von Teilern $\begin{align*} b \end{align*}$ bedeutet.

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