Auf welche Ziffer endet die Zahl ... ?

29.02.2016, 17:45

Prisma

Auf welche Ziffer endet die Zahl ... ?

Meine Frage:
Hallo,

wie kann ich denn herausfinden auf welche Ziffer die Zahl 9^200 endet?

Meine Ideen:
Hoffentlich kann mir jemand helfen, bin völlig ratlos...

29.02.2016, 17:51

Mathema

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} 9^{200}=9^{2\cdot 100} \end{eqnarray*}$

smile

29.02.2016, 17:55

Prisma

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Hä? wie finde ich das heraus?

29.02.2016, 17:59

Mathema

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Nix "Hä?"! Mal nachdenken.

Wie lautet denn dein Modul, wenn du die letzte Ziffer einer Zahl bestimmen möchtest?

29.02.2016, 18:03

Prisma

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... tut mir leid, aber ich weiß es nicht...

29.02.2016, 18:11

Mathema

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Darf ich dann mal fragen, wie du an diese Aufgabe gekommen bist? Weißt du überhaupt wovon ich spreche, wenn ich was von "modulo" schreibe?

Ich habe eigentlich angenommen, dass du eine Vorlesung zum Thema Zahlentheorie besuchst, in der ihr über Kongruenzen gesprochen habt.

@leoclid:

Du bist doch nicht neu hier. Was soll also die Komplettlösung (die ich gelöscht habe) in einem laufenden Thread? unglücklich

29.02.2016, 18:16

Prisma

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Ja weiß ich schon, nur in diesem Zusammenhang hatten wir das nicht gemacht...

29.02.2016, 18:18

Mathema

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Dann überlege doch mal:

Durch welche Zahl muss ich eine Zahl (z.B. 1017) dividieren, damit der Rest gerade die letzte Ziffer (also hier 7) ergibt?

29.02.2016, 18:24

Prisma

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1017 ist durch 3 teilbar...

29.02.2016, 18:29

Mathema

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Das stimmt sicherlich, aber das war nicht meine Frage. Es ist:

$\begin{eqnarray*} 1017 \equiv 0 \quad {\mod3} \end{eqnarray*}$

Ich hatte aber gefragt, wie die Zahl a heißt, für die gilt:

$\begin{eqnarray*} 1017 \equiv 7 \quad {\mod a} \end{eqnarray*}$

29.02.2016, 18:30

Prisma

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a ist 1010

29.02.2016, 18:36

Mathema

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Das stimmt natürlich. Das gilt für diese Zahl, aber nicht für jede. Wir wollen uns das gleich mal allgemein überlegen: Mit welcher Zahl a kriegen wir für jede andere Zahl die Endziffer als Rest, also z.B. auch für:

$\begin{eqnarray*} 1017 \equiv 7 \quad {\mod a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 523 \equiv 3 \quad {\mod a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10178 \equiv 8 \quad {\mod a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 101 \equiv 1 \quad {\mod a} \end{eqnarray*}$

29.02.2016, 18:41

Prisma

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für a = 10

29.02.2016, 18:44

Mathema

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Das wollte ich hören. Freude

So - ich hatte ja schon umgeformt:

$\begin{eqnarray*} 9^{200}=9^{2\cdot 100}=... \end{eqnarray*}$

Das ganze wollen wir also modulo 10 betrachten. Dafür wenden wir nun noch ein Potenzgesetz an. Schon eine Idee?

29.02.2016, 18:49

Prisma

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um ehrlich zu sein, nicht ... unglücklich

29.02.2016, 18:52

Mathema

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Nun - es gilt doch:

$\begin{eqnarray*} (a^b)^c=a^{b \cdot c} \end{eqnarray*}$

Jetzt wende dieses Potenzgesetz mal hier an (schreibe also als Potenz einer Potenz):

$\begin{eqnarray*} 9^{200}=9^{2\cdot 100}=... \end{eqnarray*}$

29.02.2016, 18:55

Prisma

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Dann habe ich (9^2)^100?

29.02.2016, 18:56

Mathema

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Ganz genau. Freude

Und was ergibt $\begin{eqnarray*} 9^2 \end{eqnarray*}$ ?

29.02.2016, 18:59

Prisma

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81... bedeutet dann, die Zahl endet auf 81
?

29.02.2016, 19:01

Mathema

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Nein - wir haben bisher nur umgeformt:

$\begin{eqnarray*} 9^{200}=9^{2\cdot 100}=(9^2)^{100}=81^{100} \end{eqnarray*}$

So - und nun betrachten wir die 81 mal modulo 10. Zu welcher Zahl ist die 81 nun kongruent modulo 10?

29.02.2016, 19:05

Prisma

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Zur 71?

29.02.2016, 19:07

Mathema

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Da passt die 10 aber noch mal rein. Wir suchen nun den kleinsten Rest.

29.02.2016, 19:10

Prisma

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Die 61?

29.02.2016, 19:12

Mathema

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Dann zitiere ich mich mal selbst:

Zitat:

Da passt die 10 aber noch mal rein. Wir suchen nun den kleinsten Rest.

29.02.2016, 19:21

Prisma

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Zur 91

29.02.2016, 19:23

Mathema

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Nein - und damit sind wir dann einem Punkt angelangt, an dem ich dir wohl nicht mehr weiterhelfen kann. Vielleicht hat jemand anders ja mehr Erfolg!

Wink

29.02.2016, 19:25

Prisma

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Danke

29.02.2016, 19:32

HAL 9000

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Vielleicht muss man viel banaler fragen:

81 geteilt durch 10 ergibt welchen Quotient (uninteressant für uns hier) und dabei welchen Rest (das ist die Zahl, die wir hier suchen!) ?

29.02.2016, 19:33

mYthos

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Ich versuch's nochmal:
Wir suchen einen Rest, der KLEINER als 10 ist! Nun?

EDIT:
OK, HAL hat's noch eindeutiger gesagt ...

29.02.2016, 19:39

Prisma

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Die 1

29.02.2016, 19:50

HAL 9000

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Richtig. Und die Modulo-Rechenregeln besagen

$\begin{align*} a\equiv b\bmod m \quad \Rightarrow\quad a^n\equiv b^n\bmod m \end{align*}$ ,

also hier insbesondere dann

$\begin{align*} 81\equiv 1\bmod 10 \quad \Rightarrow\quad 81^{100}\equiv 1^{100}\bmod 10 \end{align*}$ .

29.02.2016, 20:06

Prisma

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ok jetzt habe ich es verstanden. das heißt die Zahl 9^200 endet auf die Ziffer 1?

29.02.2016, 20:22

HAL 9000

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Ja.

29.02.2016, 20:27

Prisma

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Super!! Vielen Dank für eure Geduld Forum Kloppe

29.02.2016, 20:31

HAL 9000

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Mit ein wenig mehr Kenntnissen der Zahlentheorie bekommt man nicht nur die letzte, sondern sogar die letzten drei Ziffern heraus:

Mit Carmichaelfunktion bekommt man wegen $\begin{align*} \lambda(1000) = \operatorname{kgV}\left( \lambda\left(2^3\right),\lambda\left(5^3\right)\right) = \operatorname{kgV}\left( 2, 100 \right) = 100 \end{align*}$ die Eigenschaft $\begin{align*} a^{100}\equiv 1\bmod 1000 \end{align*}$ für alle zu 10 teilfremden Zahlen $\begin{align*} a \end{align*}$ , also z.B. auch $\begin{align*} a=9^2 \end{align*}$ . Somit sind 001 die drei Endziffern von $\begin{align*} 9^{200} \end{align*}$ .

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