Vorzeichenwechsel

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Aths Auf diesen Beitrag antworten »
Vorzeichenwechsel
Hallo, man benutzt doch den Vorzeichenwechsel, um festzustellen ob man einen Wendepunkt bzw. eine Extremstelle hat. Wie ging das genau?
MeMeansMe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vorzeichenwechsel
Hey,

schau mal hier Augenzwinkern
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Wo erkenne ich dann beispielsweise bel dem Beispiel mit 0,5 ob es ein Vorzeichenwechsel von - nach + oder von + nach - ist?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

beim Vorzeichenwechsel verwendet man steigende x-Werte, also von Links nach Rechts.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber dann muss man ja schauen ob es von - nach + oder von + nach - geht, oder?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich richtig.
 
 
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist es richtig?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wenn es um die Nullstelle einer Ableitung geht, dann bedeutet VZW( -,+) einen Tiefpunkt, ansonsten einen Hochpunkt.
Da gibt es kein "wie ist es richtig?"
Aths. Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es einen Vorzeichenwechsel nur von - nach +? Gibt es das von + nach - gar nicht?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
wenn es um die Nullstelle einer Ableitung geht, dann bedeutet VZW( -,+) einen Tiefpunkt, ansonsten einen Hochpunkt.
Da gibt es kein "wie ist es richtig?"


das Wort "ansonsten" bedeutet bei 2 Möglichkeiten die andere Möglichkeit.

Hier demnach VZW(+,-)

hast du Schwierigkeiten mit der deutschen Sprache?
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, mir geht es eher darum woher ich weiss, in welche Richtung ich den Vorzeichenwechsel machen muss.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
beim Vorzeichenwechsel verwendet man steigende x-Werte, also von Links nach Rechts.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Könnten wir das mit einem Beispiel machen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

, Extremwert bei x = 1, welcher?
Bilde die Ableitung f '(x) !

Mache davon eine Wertetabelle in einem Bereich um die Extremstelle und gehe bei den x-Werten vom kleinsten bis zum größten (von minus .. nach plus .. / auf der x-Achse von links nach rechts)

mY+
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung ist 2x-2. Bei 0,9 hat man den Funktionswert -0,2 und bei 1,1 hat man den Funktionswert 0,2.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

also einen VZW(-,+) der ersten Ableitung, und was das bedeutet steht weiter oben.

Anschaulich: eine Straße führt erst bergab und dann bergauf. Dazwischen liegt...
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Dazwischen liegt eine Ebene.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja ja, es grünt so Grün in der Talebene...

Also, das Anschauliche nicht überstrapazieren, die Straße ist eine Kurve und zwischen Bergab und Bergauf liegt ein Tiefpunkt.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aths
Die Ableitung ist 2x-2. Bei 0,9 hat man den Funktionswert -0,2 und bei 1,1 hat man den Funktionswert 0,2.

Okay, war das dann richtig?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. smile



Rot: Graph der gegebenen Funktion
Grün: Graph der Ableitungsfunktion

mY+
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, danke. Und wie gehe ich nun mit dem Ergebnis um?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vorzeichenwechsel
Zitat:
Original von Aths
Hallo, man benutzt doch den Vorzeichenwechsel, um festzustellen ob man einen Wendepunkt bzw. eine Extremstelle hat. Wie ging das genau?


Jetzt weist du wie das mit VZW bei Extremwerten geht.

Vorteil des VZW: es ist eine hinreichende Bedingung, auf die 2. oder weitere Ableitungen - zur Feststellung ob Extremwert und/oder welcher Art - kann verzichtet werden.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke. Kann ich jetzt daraus folgern, ob es ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
wenn es um die Nullstelle einer Ableitung geht, dann bedeutet VZW( -,+) einen Tiefpunkt, ansonsten einen Hochpunkt.
Da gibt es kein "wie ist es richtig?"


wurde alles schon gesagt.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte in dem Beispiel einen Vorzeichenwechsel von -0,2 nach +0,2 also von - nach +, ist das richtig?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das ist richtig.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Und deshalb ist es auf jeden Fall ein Tiefpunkt? Wäre der Vorzeichenwechsel von + nach - gewesen, wäre es dann ein Hochpunkt gewesen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es.



mY+
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe. Noch ein Beispiel:




Jetzt muss ich aber erst noch wissen, an welcher Stelle die Extremstelle ist, wie komme ich darauf?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wie bisher auch:

Stellen mit waagrechter Tangente :

und die untersuchst du anschließend auf VZW.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich x ausklammere dann habe ich 15x-4=0.

Somit ist x1= 0 und x2= 0,266

Stimmt das?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

rechne doch auch mal etwas mehr wie nur einen Schritt.

ja, das stimmt obwohl mir lieber wäre.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Man soll ja beim Vorzeichenwechsel ziemlich kleine Schritte machen, sind die Schritte klein genug, wenn ich jetzt 3/15 und 5/15 nehme?

Bei 3/15 wäre der Funktionswert -0,2 und bei 5/15 wäre der Funktionswert


Damit wäre es ein Vorzeichenwechsel von - nach + und damit ist die Extremstelle bei x= 4/15 ein Hochpunkt.

Um die y-Koordinate zu erhalten setze ich 4/15 in f(x) ein, dabei kommt -7,05 raus. Somit liegt bei (4/15/-7,05) ein Hochpunkt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Grafik zeigt jedoch etwas anderes ... (Rot: Gegebene Funktion, grün: Ableitungsfunktion)
Welcher Extremwert liegt bei x = 0 vor?



mY+
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Bei x=0 ist ein Wendepunkt ohne Steigung. Wo ist der Fehler bei mir in der Rechnung?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aths
Bei x=0 ist ein Wendepunkt ohne Steigung. Wo ist der Fehler bei mir in der Rechnung?


Nein, das stimmt nicht, der Wendepunkt liegt woanders (f '' = 0 !). Schau genau!
Bei x = 0 sieht man einen Hochpunkt, bei x = 4/15 einen Tiefpunkt; du hast aber Hochpunkt geschrieben.

Dein Fehler ist, dass du den Vorzeichenwechsel von - nach + zwar richtig berechnet, aber falsch interpretiert hast.

mY+
Aths. Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das hatte ich falsch hingeschrieben, natürlich ist es ein Tiefpunkt. Nochmal zu dem Wendepunkt: der zieht sich ja ziemlich lang, ich sehe ihn zwischen x=-0,3 und x= 0,3.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Er liegt aber dort nicht in der Mitte, sondern wenn schon in der Mitte zwischen den beiden Extremstellen.
Wie kannst du ihn exakt berechnen und auch die Steigung dort?

Übrigens, "KEINE oder OHNE Steigung" zu sagen ist unrichtig, wenn es dort eine waagrechte Tangente gibt, denn diese hat dann die Steigung
Der einzige Fall, in dem für eine Gerade tatsächlich keine Steigung angegeben werden kann, ist dann gegeben, wenn die Gerade senkrecht zur x-Achse verläuft,
denn dann geht die Steigung über alle Grenzen ( analog zu )

mY+
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu brauche ich f''(x)=0 also 30x-4=0

Dann ist x= 2/15
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Damit es ein Wendepunkt ist, muss dort die 3. Ableitung ungleich Null sein!
Und die Steigung dort? (Sie ist nicht Null)
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