Satz von Fermat |
| 03.03.2016, 13:00 | Britta_K | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Satz von Fermat ZZ15 erfüllt nicht die Voraussetzungen des kleinen Satzes von Fermat. Zeige, dass tatsächlich auch die Aussage nicht erfüllt ist. Formuliere eine für ZZ15 geeignete Verallgemeinerung des Satzes (in formaler Schreibweise), die für alle Kongruenzklassen in ZZ15 gilt. Gilt die Verallgemeinerung auch für ZZ30? Meine Ideen: Die Voraussetzung lautet ja, dass p prim sein muss, aber p= 3*5 ist nicht prim. Ich habe bis jetzt nur ein Beispiel gefunden, dass zeigt dass der Satz so nicht gilt: 2^14= 16383, (lässt nicht wie es nach dem kleinen Satz von Fermat sein müsste den Rest 1), sondern den Rest 4 Modulo 15 |
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| 03.03.2016, 13:12 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Beispiel ist knapp daneben, denn Eine Verallgemeinerung des kleinen Fermat ist der Satz von Euler (das zeigt die einfache Suche nach Fermat in Wikipedia : https://de.wikipedia.org/wiki/Kleiner_fermatscher_Satz ) |
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| 03.03.2016, 16:46 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Daneben ist an dieser Zeile eigentlich nur die Zahl 16383. Ersetzt man die durch 16384, so stimmt der Rest der Ausführungen. 
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| 03.03.2016, 18:21 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, das ist "knapp" daneben ( und "knapp daneben ist auch vorbei" ) Viel wichtiger ist mein Hinweis auf Euler, den Satz von Euler und die Euler'sche -Funktion |
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| 03.03.2016, 18:25 | Britta_K | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie komme ich denn dann auf eine für ZZ15 geeignete Verallgemeinerung des Satzes? Würde diese Verallgemeinerung dann auch in ZZ 30 gelten? |
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| 03.03.2016, 18:28 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt hat Elvis schon zweimal den "Satz von Euler" genannt - wie oft denn noch, bis du reagierst? 
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| 03.03.2016, 19:16 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Satz von Euler gilt für alle natürlichen Zahlen n, insbesondere für alle Primzahlen p. Noch schöner kann man den kleinen Satz von Fermat nicht verallgemeinern. Ganz konkret: Ja, 15 und 30 sind natürliche Zahlen. |
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| 03.03.2016, 19:35 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit dem Gruppenexponent (per Carmichael-Funktion) lässt sich der Exponent weiter senken, z.B. auch in den genannten Fällen 15 und 30. Aber eins nach dem anderen, also erstmal Euler.
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| 03.03.2016, 19:53 | Britta_K | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also lautet die verallgemeinerte Form: a^15 kongruent a mod 15 ? |
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| 03.03.2016, 19:58 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst Du lesen ? Wenn ja, dann lies : https://de.wikipedia.org/wiki/Kleiner_fermatscher_Satz |
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| 03.03.2016, 20:04 | Britta_K | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, ich habe es glaube ich a^9 kongruent a mod 15 es gilt auch in ZZ 30, weil phi (2)=1 |
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| 03.03.2016, 21:46 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Euler liefert zunächst nur für zu 15 teilerfremde Zahlen , für die folgt dann auch . Dass letzteres auch für alle anderen klappt, hängt wohl eher mit Besonderheiten des Moduls 15 zusammen und sollte einen NICHT dazu verleiten, für alle anzunehmen - das ist nämlich falsch. EDIT: Ok, bzw. auch für alle ist zumindest für quadratfreie Module richtig. Habe ich nie so drüber nachgedacht, ist aber gemäß chinesischem Restsatz + kleinem Fermat klar. |
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