Cauchy-Produkt bei Polynomen, Assoziativität und Kommutativität

04.03.2016, 08:55	Lehi	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Produkt bei Polynomen, Assoziativität und Kommutativität Ich habe Polynome $\begin{eqnarray} p(t)\:,q(t)\:,h(t) \end{eqnarray}$ . Ich will zeigen, dass die Multiplikation mit dem Cauchy Produkt assoziativ und kommutativ ist. Kommutativität habe ich gezeigt über: $\begin{eqnarray} p(t)\cdot q(t)=\sum\limits_{k\in\mathbb{N}}t^k\cdot(\sum\limits_{j=0}^k a_jb_{k-j}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q(t)\cdot p(t)=\sum\limits_{k\in\mathbb{N}}t^k\cdot(\sum\limits_{j=0}^k b_ja_{k-j}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall c > k-i :b_c = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall c > n :a_c = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum\limits_{j=0}^k a_jb_{k-j} = a_ib_{k-i}+...+a_n{b_{k-n}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum\limits_{j=0}^k b_ja_{k-j} = b_{k-n}a_n+...+b_{k-i}a_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum\limits_{j=0}^k a_jb_{k-j} = \sum\limits_{j=0}^k b_ja_{k-j} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow p(t)\cdot q(t) = q(t)\cdot p(t)) \end{eqnarray}$ Nur bei der Assoziativität hänge ich im moment. Ich habe: $\begin{eqnarray} p(t)\cdot( q(t)\cdot h(t)) = \sum\limits_{k\in\mathbb{N}}t^k(\sum\limits_{j=0}^ka_j(\sum\limits_{i=0}^{k-j}b_ic_{k-j-i})) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (p(t)\cdot q(t))\cdot h(t) = \sum\limits_{k\in\mathbb{N}}t^k(\sum\limits_{j=0}^k(\sum\limits_{i=0}^{j}a_ib_{j-i})c_{k-j}) \end{eqnarray}$ Und hier weiß ich nicht mehr weiter. Ich freue mich auf eure Antworten Lehi
04.03.2016, 11:15	Lehi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mittlerweile eine Lösung gefunden: $\begin{eqnarray} (p(t)\cdot q(t))\cdot h(t) = \sum\limits_{k\in \mathbb{N}}t^k(\sum\limits_{i+j=k}(\sum\limits_{m+n=i}a_mb_n)c_j) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum\limits_{k\in \mathbb{N}}t^k(\sum\limits_{m+n+j=k}a_mb_nc_j) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k\in \mathbb{N}}t^k(\sum\limits_{m+l=k}a_m(\sum\limits_{n+j=l}b_nc_j)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =p(t)\cdot (q(t)\cdot h(t)) \end{eqnarray}$

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