Herleitung Bayes Formel für kontinuierliche und diskrete Variablen

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raaged Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Bayes Formel für kontinuierliche und diskrete Variablen
Meine Frage:
Hi! Wie kann die die Bayes Formel herleiten für den Fall, dass ich eine kontinuierliche Variable x und diskrete Klassen s (1... n) habe?

Die herzuleitende Gleichung ist:



wobei P() eine absolute Wahrscheinlichkeit und p() eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist. i ist ein Index für die jeweilige Klasse, z.B. i=5.


Bitte um Hilfe smile

Meine Ideen:
Tipp war über die Ketten- und Summenregel zu gehen. Damit komme ich aber nicht weiter, weil ich die Brücke zwischen den Dichtefunktionen und den absoluten Wahrscheinlichkeiten nicht hinbekomme.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne die Wahrscheinlichkeit auf zwei Weisen:





Damit die beiden Integrale rechts für alle Borelmengen gleich sind, müssen die Integranden fast sicher gleich sein, d.h.

für fast alle ,

und mehr als dieses "fast sicher" ist ja eh nicht beweisbar.
raaged Auf diesen Beitrag antworten »

Genius, danke! smile

Hab ich das richtig verstanden, dass A als Borelmenge schlicht ein Intervall aus den reellen Zahlen ist und somit



anschaulich die Wahrscheinlichkeit einer Klasse s=i ist, wenn x im Bereich [a,b] liegt?

Also heißt ? Bzw. ist das Intervall [a,b]?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von raaged
Hab ich das richtig verstanden, dass A als Borelmenge schlicht ein Intervall aus den reellen Zahlen ist

Die Frage offenbart, dass du Wahrscheinlichkeitsrechnung ohne Maßtheoriekenntnisse betreibst: Borelmengen umfassen weit mehr als nur Intervalle, aber zumindest gehören letztere alle dazu. Bei den genannten Aussagen reicht es sogar, die Intervalle zu betrachten, d.h. man hat dann auf Ereignisebene .

Wenn du keine Maßtheorie hattest, dann weißt du vermutlich auch nichts mit meinen "fast sicher"-Anmerkungen anzufangen - vergiss sie.
raaged Auf diesen Beitrag antworten »

Hast auch Recht, Maßtheorie war nicht Inhalt meines Studiums. Geht gerade um Mustererkennung.

Aber rein interessehalber: wie ist deine "fast sicher gleich" Bemerkung gemeint? Freude

Herzlichen Dank für deine erhellenden Antworten!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von raaged
Aber rein interessehalber: wie ist deine "fast sicher gleich" Bemerkung gemeint?

Das bedeutet, dass Wahrscheinlichkeitsdichten stetiger Zufallsgrößen nie eindeutig, sondern immer nur fast sicher eindeutig bestimmt sind. Das sieht man schon am Beispiel der stetigen Gleichverteilung im Intervall :

Zur Verteilungsfunktion



kann man (punktuell) verschiedene Dichten angeben - wichtig ist nur, dass sie alle erfüllen - Beispiele:

1.Variante:

2.Variante: .

Beide Varianten sind korrekte Dichten, und sie sind fast überall (Ausnahmen sind hier konkret die beiden Punkte 0 und 1) einander gleich.
 
 
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