Herleitung Bayes Formel für kontinuierliche und diskrete Variablen |
05.03.2016, 18:52 | raaged | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Herleitung Bayes Formel für kontinuierliche und diskrete Variablen Hi! Wie kann die die Bayes Formel herleiten für den Fall, dass ich eine kontinuierliche Variable x und diskrete Klassen s (1... n) habe? Die herzuleitende Gleichung ist: wobei P() eine absolute Wahrscheinlichkeit und p() eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist. i ist ein Index für die jeweilige Klasse, z.B. i=5. Bitte um Hilfe Meine Ideen: Tipp war über die Ketten- und Summenregel zu gehen. Damit komme ich aber nicht weiter, weil ich die Brücke zwischen den Dichtefunktionen und den absoluten Wahrscheinlichkeiten nicht hinbekomme. |
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05.03.2016, 20:49 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Berechne die Wahrscheinlichkeit auf zwei Weisen: Damit die beiden Integrale rechts für alle Borelmengen gleich sind, müssen die Integranden fast sicher gleich sein, d.h. für fast alle , und mehr als dieses "fast sicher" ist ja eh nicht beweisbar. |
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05.03.2016, 22:06 | raaged | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genius, danke! Hab ich das richtig verstanden, dass A als Borelmenge schlicht ein Intervall aus den reellen Zahlen ist und somit anschaulich die Wahrscheinlichkeit einer Klasse s=i ist, wenn x im Bereich [a,b] liegt? Also heißt ? Bzw. ist das Intervall [a,b]? |
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05.03.2016, 22:26 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage offenbart, dass du Wahrscheinlichkeitsrechnung ohne Maßtheoriekenntnisse betreibst: Borelmengen umfassen weit mehr als nur Intervalle, aber zumindest gehören letztere alle dazu. Bei den genannten Aussagen reicht es sogar, die Intervalle zu betrachten, d.h. man hat dann auf Ereignisebene . Wenn du keine Maßtheorie hattest, dann weißt du vermutlich auch nichts mit meinen "fast sicher"-Anmerkungen anzufangen - vergiss sie. |
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06.03.2016, 16:00 | raaged | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hast auch Recht, Maßtheorie war nicht Inhalt meines Studiums. Geht gerade um Mustererkennung. Aber rein interessehalber: wie ist deine "fast sicher gleich" Bemerkung gemeint? Herzlichen Dank für deine erhellenden Antworten! |
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06.03.2016, 17:51 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das bedeutet, dass Wahrscheinlichkeitsdichten stetiger Zufallsgrößen nie eindeutig, sondern immer nur fast sicher eindeutig bestimmt sind. Das sieht man schon am Beispiel der stetigen Gleichverteilung im Intervall : Zur Verteilungsfunktion kann man (punktuell) verschiedene Dichten angeben - wichtig ist nur, dass sie alle erfüllen - Beispiele: 1.Variante: 2.Variante: . Beide Varianten sind korrekte Dichten, und sie sind fast überall (Ausnahmen sind hier konkret die beiden Punkte 0 und 1) einander gleich. |
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