Wölbung in Normalverteilung integrieren |
| 08.03.2016, 13:29 | feuerodem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Wölbung in Normalverteilung integrieren Hallo Leute, Ich würde gerne aus meiner Normalerverteilung mit \sigma und \mu eine Normalverteilung mit einer positiven Wölbung (leptokurtische Verteilung) erzeugen. Die Berechnung einer gegebenen Wölbung ist klar. Demnach suche ich eine Transformation, die mit Hilfe dieser Wölbung die Normalverteilung ändern kann. Meine Ideen: Die Berechnung für die Wölbung bzw. Exzess ist klar, aber leider komme ich dann nicht weiter. Hat jemand eine Idee? Viele Grüße feuerodem |
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| 09.03.2016, 10:59 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Wölbung in Normalverteilung integrieren Willkommen im Matheboard! Ich selbst kann dazu nicht viel beitragen, aber wir hatten das Thema schon ein paar Mal hier: Verteilungsfunktion aus Momenten entwickeln Verteilungsfunktion mit 4 Momenten Vielleicht bringt Dich das ja weiter. Viele Grüße Steffen |
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| 09.03.2016, 11:30 | feuerodem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Wölbung in Normalverteilung integrieren Hallo Steffen, Vielen Dank! Dort wird nach so ziemlich dem Gleichen gesucht. Leider gab es dort auch keine wirkliche Lösung. Dennoch Danke! Viele Grüße |
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| 09.03.2016, 11:45 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Wölbung in Normalverteilung integrieren Wieso war das keine richtige Lösung für dich? Nehmen wir mal die Mischungsmethode. Es sei die Dichtefunktion der Normalverteilung. Jetzt nimm z. B. folgende Dichtefunktion: Die zugehörige Verteilung hat eine Wölbung von etwas über 4, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Das ist doch das, was du suchtest oder nicht? |
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| 09.03.2016, 12:48 | feuerodem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Wölbung in Normalverteilung integrieren Hallo Huggy! Danke für deine Anregung! So eine Mischform könnte auf jeden Fall in die richtige Richtung gehen. Die angegebene Mischform vereinfacht sich bei einem Sampling von 10.000 zu Dabei werden die beiden Seitenenden stärker betont, jedoch nimmt auch die Datenanzahl um den Mittelpunkt ab. Die Wölbung beträgt daher um die drei und der Exzess ist bei null. Keine Kombination von Normalverteilungen kann eine Wölbung erzeugen, da diese von \sigma und \mu unabhängig ist. Gerade nochmal in Excel getestet 
Ich will zwar eine leptokurtische Verteilung simulieren, dennoch steht nur der linke Bereich im Fokus. Diesen kann ich ja mit einer höheren Standardabweichung simulieren. Somit bekomme ich zwar nicht die Erhöhung am Mittelwert (sondern eine Verminderung), kann dennoch aber mit einer besseren Näherung auf der linken Seite arbeiten. Es sei denn, es würde sich noch eine Option finden 
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| 09.03.2016, 13:19 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wölbung in Normalverteilung integrieren
Das ist falsch! Die Mischung der beiden Normalverteilungen ergibt nicht wieder eine Normalverteilung. Mir scheint, du verwechselst die Mischung von Dichtefunktionen mit der Addition von Zufallsgrößen. Das sind aber gänzlich unterschiedliche Dinge. Wozu du ein Sampling brauchst, ist mir auch unklar. |
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| 09.03.2016, 14:35 | feuerodem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, es fehlt bei mir eindeutig etwas am Grundverständnis. Gerade Dichtefunktion und Verteilungsfunktion ... Nochmal zurück zum Anfang: Um eine Standardnormalverteilung zu simulieren habe ich mehrere Zufallswerte [0,1] generiert. Diese habe ich als Wahrscheinlichkeiten der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung gesehen und jedem Zufallswert in den dazugehörigen Z-Wert transformiert. Per =Norm.s.inv(Zufallszahl()) in Excel. Erstelle ich 10.000 Samplings und plotte diese, erhalte ich die Standardnormalverteilung. Durch Zerrung und Verschiebung mit \sigma und \mu erhalte ich meine gewünschte Normalverteilung mit einem Exzess von null. Ich bin jetzt einfach davon ausgegangen, dass ich mit der Zufallszahl z_1 einfach statt =Norm.s.inv(z_1) die Formel =0,5*NORM.INV(z_1;0;1)+0,5*NORM.INV(z_1;0;2) verwenden kann. Diese ergab genau die selben Werte wie =0,5*NORM.INV(z_1;0;1.5). Da du aber von der Dichtefunktion sprichtst, muss es sich bei deinem x in um die x-Werte der Dichtefunktion handeln und nicht um eine Zufallszahl. Stimmt das soweit? Also brauche ich die Funktion =NORM.VERT(X;0;1;FALSCH), die mir eine Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Bereich X gibt. Somit würde es mit der Mischform zu =0,5*NORM.VERT(X;0;1;FALSCH)+0,5*NORM.VERT(X;0;2;FALSCH) führen. Jetzt sind wieder die Ränder stärker vertreten, aber auch hier sind weniger Daten in der Mitte. Ist das soweit richtig, oder bin ich von etwas falschem ausgegangen? Ich bin dir wirklich sehr dankbar für deine Hilfe! |
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| 09.03.2016, 17:24 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und was sollte die Begründung dafür sein? Nein, das ist nicht richtig. Wenn du Zufallszahlen aus meiner Mischverteilung generieren möchtest, kannst du z. B. eine gleiche Anzahl Zufallszahlen aus den beiden Ausgangsverteilungen erzeugen, die Listen aneinanderhängen und die Gesamtliste sorgfältig mischen. Für die Berechnung von Kennwerten wie Mittelwert, Standardabweichung etc. ist das Mischen nicht erforderlich, da diese Größen unabhängig von der Reihenfolge sind. Eine Simulation ist zur Bestimmung der Momente aber gar nicht erforderlich. Die gemischte Verteilung hat z.B. die Standardabweichung Sie ist aber nicht identisch mit einer Normalverteilung mit Mittelwert 0 und der Standardabweichung . Ich habe die Dichtefunktionen der beiden Verteilungen mal geplottet: [attach]41100[/attach] Blau ist die Dichte der Mischverteilung, rot die der Normalverteilung mit der gleichen Standardabweichung. |
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| 09.03.2016, 20:55 | feuerodem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen, vielen dank! Ich konnte zwei Zufallszahlenmengen aus den zwei Ausgangsverteilungen erzeugen. Mit dieser Menge lässt sich dann einfach die gewünschte leptokurtische Verteilung darstellen! Danke für dein Durchhaltevermögen bei meinen begrenzten Statistikkenntnisse
Viele Grüße feuerodem |
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| 10.03.2016, 08:28 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das freut mich! |
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| 10.03.2016, 16:12 | feuerodem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Willst du mir noch verraten, wie du die Wölbung aus deiner Mischform berechnet hast? Gibt es da einen einfachen analytischen Weg oder ist es schwieriger? Ich vermute, dass ich dazu die zentralen Momente benötige. Doch da bin ich leider ausgestiegen ... Vielen Dank schon mal im Voraus! |
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| 10.03.2016, 19:25 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist richtig und wenn man Verteilungen mit gleichem Mittelwert mischt auch ganz einfach. Dann setzen sich die zentralen Momente der Mischverteilung anteilig aus den zentralen Momenten der Einzelverteilungen zusammen. Bei Normalverteilungen führt das zu: In meinem Beispiel war Wie man aus und die Wölbung berechnet, weißt du ja sicher. |
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| 12.03.2016, 12:17 | feuerodem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Top vielen Dank
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