Erweiterungsgrad einer Körpererweiterung

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Shalec Auf diesen Beitrag antworten »
Erweiterungsgrad einer Körpererweiterung
Hallo Allerseits,

ich habe ein Problem mit dem Erweiterungsgrad einer Körpererweiterung. Zunächst liefere ich die mir zu Grunde liegende Definition:

Sei L/K eine Körpererweiterung (). Dann ist der Erweiterungsgrad von K in L [L:K] die Dimension von L als K-VR, d.h. die Kardinalität einer Basis von L.


Wie verändert sich der Grad, wenn ich anstelle von K einfach K(a) betrachte?
( K(a)={ x+ay | x,y aus K} für ein a aus L )

Ich habe über Wikipedia die Gradformel gelesen:
[L:K] = [L:K(a)] * [K(a):K] für . Damit sehe ich ja direkt die Gradänderung. Aber wie könnte ich mir das in der Ergänzung der Basiselemente vorstellen? gibt es da eine "immer gültige" Erweiterung bei solchen Fällen?


Auch gibt es da ja einen Zusammenhang zum Minimalpolynom eines Elementes. In meiner Vorlesung habe ich folgenden Zusammenhang mit einem sehr unverständlichen Beweis gesehen:
Sei und [L: K(a)]=r. Dann gilt für das charakteristische Polynom und Minimalpolynom von a über K, dass ist.

Ich hatte aber dazu auf einigen Seiten gelesen, dass der Grad der Körpererweiterung gerade dem Grad des Minimalpolynoms entspricht und nicht, wie hier, der Differenz zwischen Minimalpolynom und charakteristischem Polynom. Was ist denn da korrekt?

Viele Grüße und vielen Dank für die Unterstützung :-)
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
( K(a)={ x+ay | x,y aus K} für ein a aus L )

Diese Gleichheit ist im Allgemeinen falsch.

z.B. für

Zitat:
Aber wie könnte ich mir das in der Ergänzung der Basiselemente vorstellen?

Die Basis von L/K wird gebildet von allen Produkten der Basiselemente der anderen beiden Körpererweiterungen. Das ist die Beweisidee hinter dem Satz.
Nimm ein Lehrbuch zum Thema, da steht so was drin.
Wikipedis ist kein Lehrbuch, sondern ein Nachschlagewerk.

Zitat:
nicht, wie hier, der Differenz zwischen Minimalpolynom und charakteristischem Polynom.

Hier ist nirgendwo eine Differenz.
Und der zitierte Satz macht keine Aussage über irgendwelche Grade.
Du siehst einen Widerspruch wo keiner ist.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tatmas

Zitat:
( K(a)={ x+ay | x,y aus K} für ein a aus L )

Diese Gleichheit ist im Allgemeinen falsch.

z.B. für

Ich dachte K(a) sei so definiert. Ich muss dazu sagen, mehr als die Definition eines Körpers kam in meinem Studium zur Körpertheorie nicht vor. In einem Buch las ich, dass K(a) wie oben definiert ist. Dann werde ich hier wohl nochmal nachlesen müssen. Gibt es ein Schlagwort für K(a), unter dem ich die Zeichenfolge identifizieren kann?

Zitat:
Original von tatmas
Zitat:
Aber wie könnte ich mir das in der Ergänzung der Basiselemente vorstellen?

Die Basis von L/K wird gebildet von allen Produkten der Basiselemente der anderen beiden Körpererweiterungen. Das ist die Beweisidee hinter dem Satz.
Nimm ein Lehrbuch zum Thema, da steht so was drin.
Wikipedis ist kein Lehrbuch, sondern ein Nachschlagewerk.

Ok, das scheint mir besser formuliert als im Vorlesungsskript und ist für mich soweit verständlich. Den Beweis werde ich mir dann mal genauer anschauen, ich denke, dass ich daraus noch mehr ziehen kann.

Aufgrund deiner Hinweise habe ich "Basis für Moduln" nochmal nachgeschlagen. Einzige mir zugrunde liegende Definition einer Basis ist in LinA1 gefallen. Nun werden mir einige Aussagen der VL klarer. (Ich kenne mich nur in der Gruppentheorie recht gut aus, Ringe und Körper und Co. hatten wir mal kurz in Analysis kennen gelernt.)


Zitat:
Original von tatmas
Zitat:
nicht, wie hier, der Differenz zwischen Minimalpolynom und charakteristischem Polynom.

Hier ist nirgendwo eine Differenz.
Und der zitierte Satz macht keine Aussage über irgendwelche Grade.
Du siehst einen Widerspruch wo keiner ist.


Ok, das sehe ich ein. Ich meinte vielmehr die Graddifferenz. Bzw. in diesem Satz steht, dass das Minimalpolynom ein Teiler vom Char.Poly ist.
Nun ist aber das Problem, dass hier der Grad(m)=Grad(f)/r. Dieses r soll ja der Erweiterungsgrad von K(a) in L sein. Laut einigen Quellen ist dieser aber als Grad(m) definiert.
Verstehe ich das vlt. falsch oder wo könnte mein Problem liegen?

Viele Grüße und vielen Dank für die Hilfe
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Gibt es ein Schlagwort für K(a), unter dem ich die Zeichenfolge identifizieren kann?

Nennt sich (Körper-)Adjunktion.
Und K(a)ist ganz einfach definiert: es ist der kleinste Körper der K und a enthält.

Zitat:
Aufgrund deiner Hinweise habe ich "Basis für Moduln" nochmal nachgeschlagen.

Keine sonderlich gute Idee, das ist für den Kontext hier zu allgmein. Hier geht es um Vektorraumbasen und dafür langt handelsübliche Lineare Algebra absolut aus.

Zitat:
Verstehe ich das vlt. falsch oder wo könnte mein Problem liegen?

Dein Problem dürfte sein, dass du entscheidende Halbssätze verschluckst.
Du schreibst nämlich nie dazu über welchen Körpern das Minimalpolynome sein sollen.
Das Min.polynom von i über den reellen Zahlen ist ein ganz anderes als das Min.polynom von i über den komplexen Zahlen (das eine hat Grad 2 das andere Grad 1)

Es ist hier r=deg(m)=[K(a):K].
Zitat:
Dieses r soll ja der Erweiterungsgrad von K(a) in L sein. Laut einigen Quellen ist dieser aber als Grad(m) definiert.

Die Quellen würde ich gerne sehen.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das hilft mir alles ein wenig einzuordnen.
Ich verstehe dann aber auch eine Aussage zur Basis nicht ganz. In der oben angegebenen Definition zum Erweiterungsgrad, d.h.

Zitat:

...der Erweiterungsgrad von K in L [L:K] die Dimension von L als K-VR, d.h. die Kardinalität einer Basis von L.


Wäre hier die korrekte Notation "... die Kardinalität einer K-Basis von L."? D.h. eine Basis mit Elementen aus K?



Zitat:

Zitat:

Dieses r soll ja der Erweiterungsgrad von K(a) in L sein. Laut einigen Quellen ist dieser aber als Grad(m) definiert.

Es ist hier r=deg(m)=[K(a):K].
....
Die Quellen würde ich gerne sehen.


Eine dafür (die ich auf die Schnelle finden konnte) ist auf Wikipedia
Laut dem Satz, den ich anfangs notierte, ist das r aber nicht der Grad von m sondern der Grad(f)/Grad(m). (Da der Grad(f)=r*Grad(m))

Laut deiner Notation ist r der Erweiterungsgrad von K in K(a).


Aber ich sehe jetzt deinen Einwand. Im zitierten Satz ist das Minimalpolynom von a über K definiert.
In den Quellen wäre es aber dann ein Minimalpolynom von a über K(a).
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wäre hier die korrekte Notation "... die Kardinalität einer K-Basis von L."? D.h. eine Basis mit Elementen aus K?

Du implizierst die zitierte Notation wäre nicht korrekt. Dem ist nicht der Fall.
Du kannst beides schreiben, es bedeutet dasselbe.

Zitat:
Laut deiner Notation ist r der Erweiterungsgrad von K in K(a).

Wenn dann ist es der Erweiterungsgrad von K(a) über K, oder von K(a)/K.
K ist der kleinere der beiden Körper.


Zitat:
In den Quellen wäre es aber dann ein Minimalpolynom von a über K(a).

Dieses Minimalpolynom ist immer X-a.
 
 
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