Supremum und Maximum der Menge

09.03.2016, 14:57

vogs

Supremum und Maximum der Menge

Hallo,

ich hatte gerade eine Diskussion bzgl. Supremum und Maximum zweier Mengen.

$\begin{eqnarray*} \lbrace 0.3;0.33;0.333;0.3333;... \rbrace \end{eqnarray*}$
Also hier hätte ich gesagt, Infimum und Minimum = 0.3. Supremum = 1/3 aber es existiert kein Maximum (da 1/3 nie wirklich erreicht wird, sondern nur angenähert).

$\begin{eqnarray*} \lbrace 9.9;9.99;9.999;9.9999;... \rbrace \end{eqnarray*}$
Hier hätte ich gesagt, dass Infimum und Minimum = 99/10, Supremum und Maximum = 10. Meine Argumentation hier ist, dass ja 9.99999 periodisch = 10 ist (wie 0.99999 =1 über die geometrische Reihe).

Ist das korrekt?

09.03.2016, 18:00

Elvis

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Nein, auch 10 ist kein Element der Menge, also kein Maximum.

10.03.2016, 09:23

vogs

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Interessant. Zumindest zu letzterem (mit 10) hab ich von einer recht vertrauenswürdigen Quelle etwas anderes gehört. Sollte ich bei dieser evtl. nochmal hinterfragen.

10.03.2016, 11:23

Elvis

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Deine vertrauenswürdige Quelle irrt. $\begin{eqnarray*} 10\notin M=\{a_n=\sum_{k=0}^n\frac 9 {10^k}|n\in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} 10-a_n=\frac 1 {10^n}>0\Rightarrow a_n\ne 10(\forall n\in\mathbb N) \end{eqnarray*}$

Es gibt keine vertrauenswürdige Quelle außer der eigenen Vernunft (siehe Kant: "Habe Mut, dich deines eigenen Verstandes zu bedienen.").

10.03.2016, 15:19

HAL 9000

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@vogs

Interessant, dass du da hinsichtlich Existenz des Maximums offenbar einen qualitativen Unterschied zwischen den beiden Folgen siehst, wo doch exakt $\begin{align*} a_n = 30b_n \end{align*}$ gilt, wenn ich die erste deiner Folgen mit $\begin{align*} (b_n) \end{align*}$ bezeichne und die zweite (wie Elvis) mit $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ . smile

10.03.2016, 18:32

Elvis

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So ist es. Mein Lehrer hat gesagt: "Glauben Sie nicht, was ich sage, glauben Sie nur, was Sie beweisen können." Meine Oma hat gesagt : "Glauben heißt nicht wissen." Von beiden kann man lernen. Augenzwinkern

Übrigens handelt es sich um Mengen, nicht um Folgen. Somit stellt sich hier nicht die Frage nach den (existierenden und nicht zur Menge gehörigen) Grenzwerten der Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$

16.03.2016, 23:47

Gast1956

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Elvis, der Beweis ist einleuchtend.
Aber was spricht gegen einen Beweis, der zeigt, dass 9,999... = 9 + 0,999... ist, 0,999... = 1 ist, damit 9,999... = 10 und 10 somit Teil der Menge bzw. Folge ist?

17.03.2016, 00:01

Guppi12

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Hallo,

dein Denkfehler ist, dass 9.9999.... also mit 9-periode Element der zweiten Menge ist. Das ist nicht der Fall. Jedes Element dieser Menge bricht irgendwann ab.

17.03.2016, 11:00

Elvis

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10 ist der rationale also reelle Grenzwert der Folge (9,9.9,9.99, ...) rationaler Zahlen. Die Menge {9,9.9,9.99,...} enthält nicht die Zahl 10. Genau so ist 1/3 der rationale also reelle Grenzwert der Folge (0.3,0.33,0.333,...). Die Menge {0.3,0.33,0.333,...} enthält nicht die Zahl 1/3.
Ich bestehe deshalb darauf, dass die Grenzwerte reell sind, weil der Begriff "Grenzwert" meistens in der Analysis, also in der Theorie reeller Zahlen, definiert wird. In diesem Beispiel könnte man genau so gut mit "rationaler Analysis" argumentieren, indem man die Epsilons und Deltas auf rationale Zahlen beschränkt, aber man muss sich das Leben ja nicht immer schwerer machen als es ist.
Vielleicht wird die Argumentation für dich noch deutlicher, wenn du z.B. die rationale Folge (1,1.4,1.41,1.414,...) mit dem reellen nicht rationalen Grenzwert Wurzel aus 2 betrachtest. Die zugehörige Menge {1,1.4,1.41,1.414,...} enthält nur rationale Zahlen, keine reelle, also insbesondere nicht den Grenzwert.

Zitat:

Original von Gast1956
Elvis, der Beweis ist einleuchtend.
Aber was spricht gegen einen Beweis, der zeigt, dass 9,999... = 9 + 0,999... ist, 0,999... = 1 ist, damit 9,999... = 10 und 10 somit Teil der Menge bzw. Folge ist?

Das ist lustig. Big Laugh

Wenn ein Beweis einer wahren Aussage A einleuchtet, ist jeder Beweis der falschen Aussage nicht(A) falsch. Das spricht dagegen, dass 10 in der Menge {9,9.9,9.99,...} liegt.

18.03.2016, 09:45

vogs

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Zitat:

Original von Elvis
Deine vertrauenswürdige Quelle irrt. $\begin{eqnarray*} 10\notin M=\{a_n=\sum_{k=0}^n\frac 9 {10^k}|n\in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} 10-a_n=\frac 1 {10^n}>0\Rightarrow a_n\ne 10(\forall n\in\mathbb N) \end{eqnarray*}$

Es gibt keine vertrauenswürdige Quelle außer der eigenen Vernunft (siehe Kant: "Habe Mut, dich deines eigenen Verstandes zu bedienen.").

Der Beweis setzt aber voraus, dass man bei n aufhört und nicht bis unendlich geht, warum? Woran kann man das sehen? Für mich würden die ... bedeuten, dass es dann "ewig" so weiter geht.

18.03.2016, 19:12

Elvis

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Mit 3 Pünktchen kann man alles oder nichts definieren. Du musst zuerst die Menge definieren und dann Aussagen darüber machen. Wenn die eine Menge "ewig weiter geht" (was genau soll das heißen ?), warum dann nicht die andere Menge ?

18.03.2016, 19:54

klauss

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Bei dieser Gelegenheit würde ich gern eine Begriffsklärung vornehmen:

Zitat:

Original von Elvis
... der rationale also reelle Grenzwert ...

Was sollte damit gemeint sein? Ich denke, die Wörter "also reelle" müßte man weglassen, denn es gilt ohnehin " $\begin{eqnarray*} rational \Rightarrow reell \end{eqnarray*}$ ", nur der Grenzwert ist zwar $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , aber nicht $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Elvis
...enthält nur rationale Zahlen, keine reelle, ...

Sollte es hier nicht heißen "... enthält nur rationale Zahlen, keine irrationalen, ...", denn $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Ist es also im Sprachgebrauch der Fachwelt zulässig, die Begriffe "reell" und "irrational" synonym zu verwenden, obwohl $\begin{eqnarray*} reell \Rightarrow irrational \end{eqnarray*}$ nicht gilt?

19.03.2016, 08:00

Elvis

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Du hast den Sinn meiner Erklärung verfehlt. Es geht mir nicht um Wortklauberei, sondern darum, dass man Analysis mit reellen Zahlen macht und in den hier vorliegenden Mengen nur rationale Zahlen findet. Ohne Analysis ist es sinnlos, von Grenzwerten zu reden, egal innerhalb oder ausserhalb welcher Menge.

21.03.2016, 02:21

Gast1956

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Zitat:

Original von Elvis
Das ist lustig. Big Laugh

Wenn ein Beweis einer wahren Aussage A einleuchtet, ist jeder Beweis der falschen Aussage nicht(A) falsch. Das spricht dagegen, dass 10 in der Menge {9,9.9,9.99,...} liegt.

Dann muss ich die Frage anscheinend anders stellen.
9,999... = 9 + 0,999..., 0,999... = 1, damit ist 9,999... = 10 und 10 somit Teil der Menge bzw. Folge.
Das ist für mich einleuchtend, macht aber damit vermutlich deine Aussage nicht falsch, oder? Das wäre dann in der Tat lustig. Big Laugh

21.03.2016, 11:33

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

9,999... = 9 + 0,999..., 0,999... = 1, damit ist 9,999... = 10

soweit richtig. Das hier stimmt jetzt nicht mehr:

Zitat:

und 10 somit Teil der Menge bzw. Folge.

Die obige Menge enthält das Element $\begin{eqnarray*} 9,999... \end{eqnarray*}$ nicht! (Das habe ich und andere auch oben schon geschrieben. Hast du das nicht gelesen?)

Dass das so ist, kann man nicht irgendwie beweisen. Es liegt daran, was mit der Menge
$\begin{eqnarray*} \lbrace 9.9;9.99;9.999;9.9999;... \rbrace \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Diese enthält kein Element mit unendlich vielen Nachkommastellen. Dass das so ist, ist schlicht Konvention. Das ist eben der Nachteil von Pünktchenschreibweisen. Mengen, die in dieser Schreibweise angegeben sind, sind nicht exakt definiert, man muss immer seine Intuition mit einbauen. Deine Intution wird dir hier zum Verhängnis, denn sie füllt die Lücke, die die Pünktchenschreibweise lässt, falsch.

21.03.2016, 13:41

Elvis

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$\begin{eqnarray*} 9.99999999999...(und\;noch\; viele\;Ziffern\;9)...999999999999<10 \end{eqnarray*}$ rationale Zahlen, egal wie viele Ziffern 9 nach dem Dezimalpunkt kommen
$\begin{eqnarray*} 9.\overline 9=lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac 9 {10^k}=10 \end{eqnarray*}$ rationaler Grenzwert einer Folge von rationalen Zahlen, die man normalerweise als Folge reeller Zahlen auffasst

Und dann wiederhole ich zum letzten Mal, dass man eine Menge niemals durch Pünktchen definieren soll. Georg Cantor hat gesagt: "Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohldefinierten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen." Pünktchen sind eben nicht wohldefiniert und definieren nichts genaues, sie können alles mögliche bedeuten. Und wenn ich das so möchte, gehört auch noch ein Quietscheentchen mit zur Menge {...}. Hoppla, reingefallen, genauer "mein Quietscheentchen", sonst ist es nicht wohldefiniert. Augenzwinkern

25.03.2016, 15:37

vogs

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Also die ursprüngliche Definition der Menge mit den Pünktchen kam ja nicht von mir. Ich sollte eben die Lösungen (sup, min, max, inf) bestimmen.
Wäre die Menge eindeutiger definiert gewesen, wäre es vermutlich gar nicht zu so einer Unklarheit gekommen. Und den Leuten zu unterstellen, dass man anderen blind was glaubt ist auch nicht so toll. Natürlich hab ich mir selbst darüber Gedanken gemacht, sonst hätte ich hier keine Diskussion eröffnet sondern es einfach so stehen gelassen.

Wenn jetzt aber das Conclusio ist, dass man halt "üblicherweise" mit ... meint, dass die Menge irgendwann abbricht, ok. Das hätte man in einem Satz schreiben können und die Sache wäre geklärt gewesen.
Es ist mir hier schon ein paar mal aufgefallen, dass gerne mit mathematischen Ausdrücken usw. um sich geworfen wird, wo man doch einige Sachen in kurzen Sätzen schneller lösen hätte können.
Weiters bin ich auch nicht gerade einer, der sich hier erwartet, die Lösung hingeknallt zu bekommen. Ich setz mich mit meinen Themen schon selbst auseinander. Ich habe hier aber immer das Gefühl, dass jeder so im Subtext schreibt (wir lösen dir hier keine Sachen, Mann ist der dumm, ...).

Grüße

25.03.2016, 18:02

Elvis

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Das hast du wieder falsch verstanden, die Menge bricht nicht ab, sie geht unendlich weiter, sie enthält nur kein Element, das nicht zur Menge gehört. Wie soll man so offensichtlich komplizierte Sachverhalte in einem Satz beantworten ? Das Grundproblem ist hier die Unterscheidung zwischen den rationalen Zahlen und den reellen Zahlen. Je nachdem, in welchem Zahlenbereich man argumentiert, kann man die 3 Pünktchen auf verschiedene Weise sinnvoll interpretieren. Dein Fehler war, in den beiden Mengen unterschiedliche Verfahren anzuwenden, obwohl beide Mengen exakt gleich definiert wurden. Entscheide, was Du willst, dann kannst Du die Frage beantworten, wir können dabei nur helfen. Wenn Du dich nicht entscheiden willst oder kannst, können wir immer nur um den heißen Brei herumreden.

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