Matrix einer linearen Abbildung

11.03.2016, 16:59

MichaelKaprosky

Matrix einer linearen Abbildung

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der Vektorraum der reellen Polynome mit $\begin{eqnarray*} 2 \geq Grad \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_{1} \end{eqnarray*}$ = { $\begin{eqnarray*} 1,x,x^2 \end{eqnarray*}$ }, $\begin{eqnarray*} B_{2} \end{eqnarray*}$ = { $\begin{eqnarray*} 1,x+1,(x+1)^2 \end{eqnarray*}$ } zwei Basen dieses Raums. Weiterhin sei $\begin{eqnarray*} f: V -> W \end{eqnarray*}$ der Endomorphismus, der als lineare Fortsetzung der Abbildung $\begin{eqnarray*} f(1) = 1, f(x) = x+1 , f(x^2) = (x+1)^2 \end{eqnarray*}$ entsteht . Bestimmen Sie die Matrizen der Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wenn :

a) $\begin{eqnarray*} B_{1} \end{eqnarray*}$ als Basis von V und von W angenommen wird;
b) $\begin{eqnarray*} B_{1} \end{eqnarray*}$ als Basis von V und $\begin{eqnarray*} B_{2} \end{eqnarray*}$ als Basis von W angenommen wird;
c) $\begin{eqnarray*} B_{2} \end{eqnarray*}$ als Basis von V und $\begin{eqnarray*} B_{1} \end{eqnarray*}$ als Basis von W angenommen wird;

Meine Ideen:
1)Endomorphismus ( W = V)
2) Standard Basis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mehr dazu habe ich keine Ahnung. Wenn jemand mir nette Wise ein bischen eine Richtung geben könnte was ich hier genau tun soll, würde ich versuchen es selbst zu machen. Ich weiß einfach nicht wo und wie ich damit anfangen soll. Oder auch irgendwo eine Ähnliche Beispiel zeigen könnte.. Vielen Dank

11.03.2016, 18:07

Elvis

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Deine "Ideen" sind komplett unsinnig.

Du musst die Bilder unter f der Basisvektoren von V berechnen als Linearkombinationen der Basisvektoren von W(=V) und dann die Koeffizientenvektoren dieser Linearkombinationen als Spaltenvektoren in die Darstellungsmatrizen von f schreiben.

11.03.2016, 22:45

MichaelKaprosky

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Zitat:

Original von Elvis
Deine "Ideen" sind komplett unsinnig.

Du musst die Bilder unter f der Basisvektoren von V berechnen als Linearkombinationen der Basisvektoren von W(=V) und dann die Koeffizientenvektoren dieser Linearkombinationen als Spaltenvektoren in die Darstellungsmatrizen von f schreiben.

Hallo Elvis, Vielen Dank erstmal für deinen Hinweis. Ja meine Ideen waren schon unsinnig weil ich nicht weiß wie man damit umgehen soll. Naja ich versuche jetzt noch das zu verstehen..

12.03.2016, 09:23

Elvis

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Es ist immer so: In den Spalten der Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren. Einfacher geht es nicht.

12.03.2016, 10:32

MichaelKaprosky

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abb.
Hallo Elvis, Vielen Dank für deinen Tipps.

a) Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Basis $\begin{eqnarray*} B_{1} \end{eqnarray*}$ von V wieder in de $\begin{eqnarray*} B_{1} \end{eqnarray*}$ von W transformiert , sollte unsere Matrix so aussehen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) ich überlege noch..

c) Da $\begin{eqnarray*} f(x+1) = x+2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f((x+1)^2) = x^2+4x+4 \end{eqnarray*}$ gilt und da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Basis $\begin{eqnarray*} B_{2} \end{eqnarray*}$ von V wieder in de $\begin{eqnarray*} B_{1} \end{eqnarray*}$ von W transformiert , sollte unsere Matrix so aussehen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.03.2016, 10:51

Elvis

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stimmt soweit

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