Frage zu minimalen, maximalen Elementen

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Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu minimalen, maximalen Elementen
Hallo, ich habe eine Frage zu minimalen, maximalen Elementen und Minimum und Maximum.
Hier die konkrete Aufgabe:
Zitat:
Es sei . Es sei die Menge aller Teilmengen von die Menge aller nichtleeren Teilmengen von und die Menge aller nichtleeren echten Teilmengen von
Bestimmen Sie die minimalen und maximalen Elemente von , so wie die Existenz eines Minimums oder Maximums, jeweils mit als Halbordnung.


Okay also:






Zitat:
Ein Element einer geordneten Menge ist maximal, wenn es kein größeres gibt. Es ist minimal, wenn es kein kleineres gibt.

Hmm, also wäre von P das minimale Element die leeren Menge und das maximale Element die 3?
Und von P' und P'' das minimale Element die 1 und das maximale Element die 3?
Falls ja, was ist dann das Maximum bzw. Minimum, wo liegen die Unterschiede?

LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. Nein, es geht nicht um die Ordnung von Zahlen sondern um die Ordnung von Mengen.
2. Den Unterschied zwischen "minimales Element" und "Minimum=kleinstes Element" findest Du bei Wikipedia.
Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »

Auf die Idee, dass ich bei Wikipedia nachschaue, bin ich selber schon gekommen, allerdings verstehe ich es nicht ganz, deshalb habe ich mir gedacht ich frage mal hier, vielleicht könnte mir es jemand anhand des Beispiels erklären.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht um die Halbordnung der Mengen. Beispiel P'' : Die 3 einelementigen Mengen sind minimal (es gibt keine Teilmengen davon in P''), die 3 2-elementigen Mengen sind maximal (es gibt keine Teilmengen in P'', in denen sie enthalten sind). P'' enthält kein Minimum und kein Maximum, denn diese müssten in allen Teilmengen enthalten sein bzw. alle Teilmengen enthalten.
Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay also wäre hier zB:


  • {1} ein Minimum?
  • {1} ein minimales Element?
  • {1,2,3} ein maximales Element?


Stimmt das soweit?
Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für den Doppelpost, aber man kann nur 15 Minuten lang editieren.

Und ich würde auch behaupten, dass:
  • P keine minimalen Elemente hat oder zählt die leere Menge als minimales Element? Maximales Element sollte {1,2,3} sein. Maximum hat es keines, evtl ein Minimum und zwar die leere Menge??
  • P' hat die minimalen Elemente {1},{2},{3} und das maximale Element {1,2,3} und hat weder ein Minimum noch ein Maximum.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Y hast du recht (allerdings gibt es ein Maximum), aber sonst ist viel falsch. Merke: Jedes Minimum ist minimal, jedes Maximum ist maximal.
Klar ist die leere Menge Minimum jeder Teilmengenbeziehung, denn sie ist in jeder Menge enthalten und eine kleinere Menge als die leere Menge gibt es nicht.
Also gilt:
P hat ein Minimum und ein Maximum.
P' hat 3 minimale Elemente und ein Maximum.
Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »

Da ein Minimum in allen Teilmengen enthalten sein muss, dachte ich mir das auch vom Maximum. Oder kann ein Minimum auch gleichzeitig ein Maximum sein? Aber was wäre dann das Maximum in P' ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine geordnete Menge kann minimale oder maximale Elemente enthalten. Eine geordnete Menge kann ein Minimum oder ein Maximum enthalten. Muss aber nicht. Wieso glaubst du, dass ein Minimum in allen Teilmengen enthalten sein muss ? Das ist falsch. P' und P'' enthalten kein Minimum.
Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
[...]
P'' enthält kein Minimum und kein Maximum, denn diese müssten in allen Teilmengen enthalten sein bzw. alle Teilmengen enthalten.


Jetzt hast du mich komplett verwirrt?

Was wäre denn das Maximum in dieser Menge?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist das Problem ?
ist das Minimum von
ist das Maximum von
Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »

Haha, es ging um diesen Zusammenhang:

Zitat:
Original von Elvis
[...]
Wieso glaubst du, dass ein Minimum in allen Teilmengen enthalten sein muss ? Das ist falsch.
[...]


Zitat:
Original von Elvis
[...]
P'' enthält kein Minimum und kein Maximum, denn diese müssten in allen Teilmengen enthalten sein
[...]


Aber hat sich schon erledigt Big Laugh
Okay ich probiere es nochmal:

  • Die minimalen Elemente von P' sind {1},{2},{3}, das maximale Element ist {1,2,3}. P' hat kein Minimum und das Maximum ist {1,2,3}
  • Die minimalen Elemente von P'' sind {1},{2},{3}, die maximalen Elemente sind {1,2},{1,3},{2,3}. P'' hat kein Minimum und auch kein Maximum.
  • Das Minimum von P ist die leere Menge. Das Maximum von P ist {1,2,3}. Das maximale Element von P ist auch {1,2,3} und ?das minimale Element von P ist auch die leeren Menge?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Das letzte gilt, wie ich schon gesagt habe, weil jedes Minimum minimal ist.
Genauer: Ein Minimum ist das einzige minimale Element, ein Maximum ist das einzige maximale Element. Wenn es also ein Minimum oder Maximum gibt, muss man nicht mehr erwähnen, dass das minimal bzw. maximal ist.
Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen vielen Dank für deine Geduld! Freude Freude
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