Quotientenraum - Ähnlicher Ring?

12.03.2016, 17:51

Probability

Quotientenraum - Ähnlicher Ring?

Hallo,

angenommen U=V/W ist ein Quotientenraum und sei $\begin{eqnarray*} v_1,v_2 \in V \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} v_1-v_2 \in W \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} v_1~v_2 \end{eqnarray*}$ , d.h. die beiden Vektoren haben denselben U-Anteil und man sieht diese als äquivalent an.
Richtig?

Wie schaut es aber nun mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R[X]/p\mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ aus? $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ natürlich.

Gilt hier dasselbe Prinzip wie bei V/W? Wie überprüfe ich hier bei den Polynomen, was nun äquivalent ist?

Gruß
Probability

12.03.2016, 18:27

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Quotientenraum - Ähnlicher Ring?
Natürlich gilt das gleiche Prinzip. Für $\begin{eqnarray*} q_1, q_2 \in \mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} q_1 \sim q_2 \iff q_1 - q_2 \in p\mathbb R[X] = \{ p \cdot r, r \in \mathbb R[X]\} \end{eqnarray*}$ . Ob $\begin{eqnarray*} q_1 \sim q_2 \end{eqnarray*}$ kann man nun leicht prüfen, indem man eine Polynomdivision $\begin{eqnarray*} (q_1 - q_2) : p \end{eqnarray*}$ durchführt. Ist das Ergebnis ein Polynom $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ , so gilt offenbar $\begin{eqnarray*} q_1 - q_2 = p r \in p\mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} q_1 \sim q_2 \end{eqnarray*}$ , ansonsten eben nicht.

12.03.2016, 23:30

Probability

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh ok, danke. Jetzt verstehe ich das schon viel besser!

Habe auch ein Beispiel zu dem Thema:
Gegeben ist ein Polynom $\begin{eqnarray*} a=x^3-x^2+2x-5 \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} a^10 \in \mathbb Q[X]/p\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p=x-1 \end{eqnarray*}$

Hm irgendwie komisch. Wir wissen ja nicht wo genau a drinnen ist, aber a^10 schon. Also einfach a*p und dann hoch 10 machen?

13.03.2016, 07:07

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist doch explizit gegeben. Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ . Nun ist trivialerweise auch $\begin{eqnarray*} a^{10} \in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ . Was dort steht bzw. gemeint ist, ist die Projektion $\begin{eqnarray*} a^{10} \mapsto [a^{10}]_{\mathbb Q[X]/ p\mathbb Q[X]} \end{eqnarray*}$ zu berechnen, und vermutlich als Repräsentanten das Polynom mit minimalem Grad anzugeben. Da $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ linear ist, ist leicht zu sehen, dass so $\begin{eqnarray*} [a] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [a^{10}] \end{eqnarray*}$ konstant sind.

13.03.2016, 09:12

Probability

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist das konstant?

a und $\begin{eqnarray*} a^{10} \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ , was klar ist. Aber ich verstehe nicht, wie ich $\begin{eqnarray*} [a^{10}] \end{eqnarray*}$ berechnen soll.

Einfach $\begin{eqnarray*} a^{10}:p=r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb Q[X]/p\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ ?

13.03.2016, 12:11

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

In $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] / p \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a= a + p \cdot r \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ . Nehmen wir z.B. $\begin{eqnarray*} r = -x^2 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} a + p \cdot r = (x^3 - x^2 + 2x - 5) + (x-1)\cdot (-x^2) = 2x - 5 \end{eqnarray*}$ . Damit gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] / p \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x^3 - x^2 + 2x - 5 = 2x - 5 \end{eqnarray*}$ .

Die Frage ist welches $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ optimal ist. Ich habe mit dem einfachen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ oben aus dem kubischen Polynom ein lineares gemacht. Damit lässt sich $\begin{eqnarray*} a^{10} \end{eqnarray*}$ schon deutlich leichter berechnen. Man kann aber ein besseres wählen, so dass es konstant ist.

13.03.2016, 12:54

Probability

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, es wird klarer.

Es gilt doch: $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p\cdot a \in p\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ - richtig?

Und dann $\begin{eqnarray*} b=a-pr \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb Q[X]/p\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ , weil ja $\begin{eqnarray*} a-b = pr \in p\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ sein muss.

Also habe ich für jedes verschiedene r immer eine Äquivalenzklasse? Und da sind halt jene polynome a,b drinnen, die bei $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} pr \end{eqnarray*}$ kommen?

13.03.2016, 13:41

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Probability
Und dann $\begin{eqnarray*} b=a-pr \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb Q[X]/p\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ , weil ja $\begin{eqnarray*} a-b = pr \in p\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ sein muss.

Ich weiß nicht was du meinst. Du kannst alle Polynome in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/p\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ auffassen. Am Anfang würde man wohl schreiben $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} [a] \in \mathbb Q[X]/p\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ , damit man beides notationell trennt.

Dann gilt fuer $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} a \sim b \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/p \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} [a] = [b] \end{eqnarray*}$ und das ist der Fall, falls $\begin{eqnarray*} a - b \in p \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ .

14.03.2016, 18:22

Probability

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Also anscheinend muss man einfach a durch p dividieren und dann den Rest hoch Zehn nehmen, was jetzt viel einfach ist, als das wir gestern besprochen haben.

Stimmt das wirklich so? Es wurde zwar so in der Übungsstunde behandelt, aber naja.

14.03.2016, 19:23

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt $\begin{eqnarray*} [a^{10}] = [a]^{10} \end{eqnarray*}$ , also kann man das machen. Man muss also nicht durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilen.

Aber das einfachste wäre $\begin{eqnarray*} a:p \end{eqnarray*}$ als Polynomdivision zu berechnen und man bekommt ein Polynom $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ s.d. $\begin{eqnarray*} a = r\cdot p - 3 \end{eqnarray*}$ (wenn ich mich nicht verrechnet habe. Dann ist $\begin{eqnarray*} [a] = [-3] \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} [a^{10}] = [ (-3)^{10}] \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Quotientenraum - Ähnlicher Ring?

Verwandte Themen