Taylorpolynom Restglied

14.03.2016, 22:43

1lc

Taylorpolynom Restglied

Hallo ich habe eine Frage zum Restglied eines Taylorpolynoms.
Nehmen wir die Funktion $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ .

Und nun das 3. Taylorpolynom, dass dann an der Entwicklungstelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ wie folgt lauten würde: $\begin{eqnarray*} 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6} \end{eqnarray*}$ .

Das Restglied wäre somit : $\begin{eqnarray*} \frac{f^{4}(\xi )\cdot x^4}{24} \end{eqnarray*}$ .
So wenn ich das richtig verstanden habe ist das Restglied der maximale Fehler.
Somit wäre das 3. Taylorpolynom + dem Restglied = dem echtem Funktionswert an der Stelle y.

Nehmen wir das Invertall von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 0.1 \end{eqnarray*}$
Da die Funktion e^x stetig wächst, wäre das Restglied somit : $\begin{eqnarray*} \frac{e^{0,1}\cdot 0,1^4}{24} \end{eqnarray*}$ .
Und der Wert des 3. Taylorpolynoms an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0.1 \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} \frac{6631}{6000} \end{eqnarray*}$ .
Also müsste $\begin{eqnarray*} \frac{6631}{6000} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{e^{0,1}\cdot 0,1^4}{24} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f(0,1) \end{eqnarray*}$ sein?

Wenn ich das im Taschenrechner eintipp kommt da nicht GENAU das selbe raus, wobei es doch genau das selbe sein sollte oder?

Hab ich was falsch gemacht?
Mfg
1lc

14.03.2016, 23:51

Hauke Schäffer

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RE: Taylorpolynom Restglied
Ich bin mir nicht sicher ob ich dein Problem richtig verstanden habe, aber ich versuche es mal: Taylorpolynom und Restglied werden getrennt berechnet. Das Taylorpolynom ist dazu gedacht, Funktionen durch ein Polynom (womit wir "besser" rechnen können Augenzwinkern

) zu approximieren. Das Restglied gibt dir nun den maximalen Fehler an der bei dieser Approximation entsteht. Es stimmt, letztlich ergibt sich ein bestimmter Wert für die Gesamt-Approximation durch Addition von Taylorpolynom und Restglied. Die Werte der beiden in Summe sind jedoch nicht gleich dem Wert den du erhälst, wenn du 0,1 in deine Funktionsgleichung einsetzt, denn du machst bei deiner Abschätzung ja einen Fehler.

14.03.2016, 23:56

1lc

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und welchen fehler? der maximale wert des restglieds $\begin{eqnarray*} \frac{f^{4}(\xi )\cdot x^4}{4!} \end{eqnarray*}$ ergibt sich für $\begin{eqnarray*} x=0.1 \end{eqnarray*}$ auf dem invervall von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 0.1 \end{eqnarray*}$ da beide funktionen $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsen

15.03.2016, 00:01

WebFritzi

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RE: Taylorpolynom Restglied

Zitat:

Original von 1lc
So wenn ich das richtig verstanden habe ist das Restglied der maximale Fehler.

Nein, das hast du falsch verstanden. Das Restglied ist der exakte Fehler: R = f - Tf, wobei R das Restglied und Tf das Taylorpolynom (irgendeinen Grades) ist.

Zitat:

Original von 1lc
Somit wäre das 3. Taylorpolynom + dem Restglied = dem echtem Funktionswert an der Stelle y.

Hmm, jetzt ist ees wieder richtig.

Zitat:

Original von 1lc
Nehmen wir das Invertall von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 0.1 \end{eqnarray*}$
Da die Funktion e^x stetig wächst, wäre das Restglied somit : $\begin{eqnarray*} \frac{e^{0,1}\cdot 0,1^4}{24} \end{eqnarray*}$ .

Nein, das ist wieder falsch. Das Restglied hast du oben mit einem $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ angegeben. Man weiß dabei nur, dass dieses $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ existiert, und zwar im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,0.1) \end{eqnarray*}$ , nicht aber wo es sich genau befindet. Was du hier machst, ist eine Restgliedabschätzung. Und die hast du richtig gemacht. Es ist nur nicht das Restglied, sondern etwas, was i.A. (dem Betrage nach) größer ist als das Restglied. Das ist der maximale Fehler (bzw. auch wiederum nur eine Abschätzung dessen).

Zitat:

Original von 1lc
Und der Wert des 3. Taylorpolynoms an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0.1 \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} \frac{6631}{6000} \end{eqnarray*}$ .
Also müsste $\begin{eqnarray*} \frac{6631}{6000} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{e^{0,1}\cdot 0,1^4}{24} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f(0,1) \end{eqnarray*}$ sein?

Wenn du bis hierhin aufmerksam gelesen hast, weißt du sicher, dass diese Behauptung wieder falsch ist (selber Fehler).

Zitat:

Original von 1lc
Wenn ich das im Taschenrechner eintipp kommt da nicht GENAU das selbe raus, wobei es doch genau das selbe sein sollte oder?

Aber ich finde toll, dass du dein Ergebnis nochmal überprüfst. Freude

Ohne Selbstzweifel lernt man nämlich nichts.

15.03.2016, 00:10

1lc

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ja, bringt ja nichts wenn man das nicht mal selber überprüft. ok dann habe ich das jetzt richtig verstanden.
das restglied + die taylorreihe eines bestimmten grades ergeben den exakten funktionswert.

Nur kann man das restglied nicht genau bestimmen sondern nur seine obere grenze abschätzen(also den maximalen fehler) abschätzen.
Damit dürfte das thema für mich abgehakt sein.

Vielen Dank für die Erklärung! Big Laugh

15.03.2016, 04:15

WebFritzi

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