Körper F4 beweisen

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s__y Auf diesen Beitrag antworten »
Körper F4 beweisen
Meine Frage:
Sei F4 ein KÖrper mit den Elementen 0,1,a,b.Erstellen Sie die Additions-und Multiplikationstabellen.
Beweise dass F4 ein Körper ist. Die Assoziativität muss nicht nachgewiesen werden.

Meine Ideen:
HAllo! Also mit den Tabellen habe ich kein PRoblem die habe ich hinbekommen.
JEdoch fällt mir der Part mit dem Beweisen sehr schwer. Ich muss nach den Körperaxiomen beweisen, dass ein inverses und neutrales Element existiert sowie auch die Kommutativität und die Distributitvität.. ich habe mir überlegt erst mal beweisen dass es gruppen sid aber da weiss ich auch nicht wie ich anfangen soll unglücklich
bItte um HIlfe
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige die Tabellen, dann ist das meiste schon klar.
S.Y Auf diesen Beitrag antworten »

wie meinst du das?
ich gaube ich soll das durch die Körperaxiome zeigen das ist die aufgabe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe die Tabellen hier auf, dann kann ich dir erklären, wie man daraus die Körperaxiome abliest.
S.Y Auf diesen Beitrag antworten »

Additionstabelle

+ 0|1|a|b|
0 0|1|a|b|
1 1|0|b|a|
a a|b|0|1|
b b|a|1|0|

und die Multiplikationstabelle

* 0|1|a|b|
0 0|0|0|0|
1 0|1|a|b|
a 0|a|b|1|
b 0|b|1|a|
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Begründe, warum dies die einzig möglichen Tabellen sind, dann sind wir fast fertig.
Tipp: Bedenke, dass für jeden Körper K sowohl (K,+) als auch (K\{0},*) eine abelsche Gruppe sein muss. (Vermutlich hast du das bedacht, als du die Tafeln berechnet hast, und damit ist fast alles bewiesen.)

Anmerkung: es gibt für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n bis auf Isomorphie genau einen endlichen Körper mit Elementen. Er kann konstruiert werden als Zerfällungskörper eines irreduziblen Polynoms vom Grad n, also mit
 
 
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