log2(111...111) = Natürliche Zahl?

15.03.2016, 11:20

Justice

log2(111...111) = Natürliche Zahl?

Kann man beweisen/widerlegen, dass es für eine natürliche Zahl x ein $\begin{eqnarray*} 2^{x} \end{eqnarray*}$ - 1 = 1111...1111 (ein Resultat nur mit 1en (Basis 10)) gibt?

Wenn ja, wie?

15.03.2016, 11:26

HAL 9000

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In deiner Überschrift taucht ein $\begin{align*} \log_2 \end{align*}$ auf, im Text dann nicht mehr - kann es sein, dass da was fehlt?

EDIT: Ah, OK - in der Überschrift hätte $\begin{align*} \log_2(111\ldots 11{\color{red}2}) \end{align*}$ stehen müssen, damit es in Übereinstimmung mit dem Text steht.

15.03.2016, 12:54

Justice

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Zitat:

Original von HAL 9000
In deiner Überschrift taucht ein $\begin{align*} \log_2 \end{align*}$ auf, im Text dann nicht mehr - kann es sein, dass da was fehlt?
EDIT: Ah, OK - in der Überschrift hätte $\begin{align*} \log_2(111\ldots 11{\color{red}2}) \end{align*}$ stehen müssen, damit es in Übereinstimmung mit dem Text steht.

Oops, ja stimmt, der Titel ist falsch unglücklich

Aber du weisst, es auch nicht?

15.03.2016, 13:02

HAL 9000

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Es geht um die Lösbarkeit der Gleichung $\begin{align*} 2^x = 1111\ldots 1112 \end{align*}$ in natürlichen Zahlen $\begin{align*} x \end{align*}$ .

Die ersten Werte rechts 2, 12 und 112 untersuchen wir einzeln, davon liefert nur der erste eine Lösung, nämlich $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ .

Ab 1112 mit dann auf jeden Fall $\begin{align*} x>10 \end{align*}$ muss ja $\begin{align*} 2^x\equiv 1112\bmod 10000 \end{align*}$ gelten, was $\begin{align*} 2^x\equiv 8\bmod 16 \end{align*}$ impliziert...

15.03.2016, 13:05

Vercalct*off*

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2^1 - 1 = 1
Aber für alle Fälle x > 1 siehts so aus:

2^x = 11111 .... 11112

Nun teilen wir das durch 2

2^(x-1) = xxxx .... xxxxx 1

Aber eine Zweierpotenz 2^x mit x > 1 und natürlich muss ja durch 2 teilbar sein.

15.03.2016, 13:14

Kepetry

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RE: log2(111...111) = Natürliche Zahl?
Hallo

Reicht es nicht, erstmal $\begin{eqnarray*} 2^{x} \end{eqnarray*}$ für 2 < x < 103 zu betrachten?
und dann beides mit ...1111+1 modulo 1000.

(Ich würde sicherheitshalber alle kleineren $\begin{eqnarray*} 2^{x} \end{eqnarray*}$ modulo 1000, also für 2 < x < 103 prüfen.)

15.03.2016, 13:20

Vercalct*off*

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Oh mann... was ging denn da in meiner Rübe ab?

15.03.2016, 13:22

Justice

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RE: log2(111...111) = Natürliche Zahl?

Zitat:

Original von Kepetry
Hallo

Reicht es nicht, erstmal $\begin{eqnarray*} 2^{x} \end{eqnarray*}$ für 2 < x < 103 zu betrachten?
und dann beides mit ...1111+1 modulo 1000.

(Ich würde sicherheitshalber alle kleineren $\begin{eqnarray*} 2^{x} \end{eqnarray*}$ modulo 1000, also für 2 < x < 103 prüfen.)

Der Exponent "x" wird mit Sicherheit viel grösser als 103. Sehrwahrscheinlich unberechenbar gross. Ich weiss gar nicht wieviele Potenzen mit 2er-Basis man in einem Monat mit einem 4Ghz-Quardcore z.B. berechnen kann, aber ich glaube das wird bei weiten nicht reichen. Wir reden hier wahrscheinlich von Zahlen im Ausmass von $\begin{eqnarray*} 10^{10^{10^{n}}} \end{eqnarray*}$

15.03.2016, 13:33

HAL 9000

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Ich bin ja mal gespannt, wann wahrgenommen wird, dass die Lösung schon lange im Thread steht. Augenzwinkern

15.03.2016, 14:18

Justice

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es geht um die Lösbarkeit der Gleichung $\begin{align*} 2^x = 1111\ldots 1112 \end{align*}$ in natürlichen Zahlen $\begin{align*} x \end{align*}$ .

Die ersten Werte rechts 2, 12 und 112 untersuchen wir einzeln, davon liefert nur der erste eine Lösung, nämlich $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ .

Ab 1112 mit dann auf jeden Fall $\begin{align*} x>10 \end{align*}$ muss ja $\begin{align*} 2^x\equiv 1112\bmod 10000 \end{align*}$ gelten, was $\begin{align*} 2^x\equiv 8\bmod 16 \end{align*}$ impliziert...

Mir ist noch nicht ganz klar wie bei diesem Ansatz, das bewiesen/widerlegt worden ist. Beschreib bitte mal die einzelnen Schritte/Gedankengänge.

15.03.2016, 14:26

HAL 9000

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Nochmal ausführlicher: Ab vier Stellen aufwärts gilt für die rechts stehende Zahl

$\begin{align*} 111\ldots 1112\equiv 1112 \equiv 8\bmod 16 \end{align*}$ ,

während zugleich für $\begin{align*} x\geq 4 \end{align*}$ ja $\begin{align*} 2^x\equiv 0\bmod 16 \end{align*}$ gilt, d.h., es kann keine Gleichheit gelten. Zusammen mit der oben erwähnten Einzeluntersuchung für 2, 12 und 112 bleibt demnach nur noch Lösung $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ .

15.03.2016, 16:22

Justice

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nochmal ausführlicher: Ab vier Stellen aufwärts gilt für die rechts stehende Zahl

$\begin{align*} 111\ldots 1112\equiv 1112 \equiv 8\bmod 16 \end{align*}$ ,

während zugleich für $\begin{align*} x\geq 4 \end{align*}$ ja $\begin{align*} 2^x\equiv 0\bmod 16 \end{align*}$ gilt, d.h., es kann keine Gleichheit gelten. Zusammen mit der oben erwähnten Einzeluntersuchung für 2, 12 und 112 bleibt demnach nur noch Lösung $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ .

Was bedeutet bei dir $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ ?

15.03.2016, 16:25

HAL 9000

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Wenn überhaupt, dann hätte ich eine derartige Nachfrage eher erwartet.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_%28Zahlentheorie%29

OK, Modulorechnung ist nicht zwingend erforderlich, um das zu verstehen - ich gehe nur davon aus, dass die jeder zumindest in Grundzügen kennt, der Zahlentheorie auf diesem Niveau betreibt.

Ohne Modulorechnung formuliert: $\begin{align*} 2^x \end{align*}$ ist für $\begin{align*} x\geq 4 \end{align*}$ durch 16 teilbar, die vier- oder mehrstellige Zahl 1111...1112 jedoch nicht. Damit können beide nicht einander gleich sein.

16.03.2016, 09:44

Justice

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn überhaupt, dann hätte ich eine derartige Nachfrage eher erwartet.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_%28Zahlentheorie%29

OK, Modulorechnung ist nicht zwingend erforderlich, um das zu verstehen - ich gehe nur davon aus, dass die jeder zumindest in Grundzügen kennt, der Zahlentheorie auf diesem Niveau betreibt.

Ohne Modulorechnung formuliert: $\begin{align*} 2^x \end{align*}$ ist für $\begin{align*} x\geq 4 \end{align*}$ durch 16 teilbar, die vier- oder mehrstellige Zahl 1111...1112 jedoch nicht. Damit können beide nicht einander gleich sein.

Achso okay, ja gut, haha so kann man es auch machen smile

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