Urbilder bestimmen
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16.03.2016, 16:45 stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »
Urbilder bestimmen
Meine Frage:
ich habe eine Funktion f : Z nach Z
f(z)= Betrag(z)

Betrag (z)=z wenn z >= 0
Betrag (z)= -z wenn z<0

Menge U enthält -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

Ich soll f(U) (entspricht f(u) und u Element U) bestimmen und menge der Urbilder der Elemente in f(U)


Ich habe nach den betraegen bilden (f(u)= betrag(u)) in f(U) stehen 0, 1, 2, 3
und f minus 1 f(u) komme ich zu 0: 0; 1: -1, 1; 2: -2,2; 3: -3, 3
Also 7 Urbilder.

Ist das überhaupt richtig oder muss ich das ganz anders lösen? Habe das noch nie gemacht und mir irgendwas darüber nur selbst erklärt : )


Meine Ideen:
Dankeschön für antworten, steffi
16.03.2016, 18:09 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Umkehrrelation (geht es um diese?) ist keine Abbildung (also keine Funktion). Denn es darf ja zu einem Urbild nicht zwei Bilder geben.
Die Relation hat jedoch die von dir genannten Urbilder, denn diese sind ja Bilder der Funktion f(U).

mY+
16.03.2016, 18:56 stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte in f von u stehen die y werte die ich dann in f minus 1 einsetzen muss ? F minus 1 ist bei mir: f minus 1 von f(u) = Betrag f(u) und da kommen 2 werte.
Wie muss ich die urilder bestimmen? Und stimmt f von U mit den werten 0 1,2,3 ?
Lg : )
16.03.2016, 19:05 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es stimmt schon, dass sich in f(u) die Funktionswerte ("y-Werte") befinden.
Bei der Umkehrrelation sind Ur- und Bildmenge zu vertauschen.

Dein Aufgabentext ist offensichtlich kryptisch.
Für mich ist f: u --> U, u --> |u|
In U stehen also nur positive Zahlen, für die Umkehrrelation ist dies dann die Urmenge.
16.03.2016, 19:20 stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Wie meinst du das? In U stehen nur positive zahlen und da ist doch noch -3, -2, -1 ? lg
16.03.2016, 19:37 stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich die negativen Zahlen in U ignorieren wegen dem Betrag von u?
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16.03.2016, 20:34 stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch einen zweiten Teil. Denke dass das so gelöst habe wie du oder?
Aufgabe zu Teil 1 wieder mit f von z .... das selbe.

Dann
Menge V enthält -10, -5, 0, 10, 15
Soll Menge W der urbilder von V unter f und f (W) entspricht f(w) und w Element von W
Menge W soll sein bei mir: -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15
f(v) = betrag(v) = w
f minus 1 (w) = betrag(w)
f(w) gibt es nicht ???
16.03.2016, 20:41 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nach wie vor erscheint mir deine Aufgabenstellung kryptisch bzw. nicht verständlich!
Das kann davon kommen, weil du die Aufgabe nicht vollständig und im Originalwortlaut postest.

Bitte tue dies einmal, wenn du an einer effizienteren Behandlung der Frage interessiert bist.

mY+
16.03.2016, 20:59 stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es angehängt
16.03.2016, 21:36 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist es klar, obwohl dennoch etwas seltsam.

Wie hast du 1) beantwortet?

Das Bild von f(U) ist demnach {0, 1, 2, 3}
Da in jedem Element der Menge f(u) ausser in {0} zwei Abbildungspfeile enden, ist die Umkehrung nicht eindeutig. Aber ich sehe - ebenso wie du im Erstpost - ebenfalls 7 Urbilder, also wieder die Definitionsmenge.

Im Falle W und V ist es anders, denn in der Bildmenge V können durch die Abbildung nur positive Elemente getroffen werden.
Daher können die entsprechenden Pfeile "umgedreht" werden und enden wieder in Elementen der Urmenge W. Wie lautet die Urmenge? Ist f(w) bijektiv?

mY+
16.03.2016, 21:43 stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja also ist W dann -10, -5, 0 , 5, 10 ?
Und ist es falsch dass es kein f(w) gibt sondern nur f minus 1 ( w) ?
_______________________

f(v)=betrag(v) = w
f minus 1 (w) = betrag(w)
habe ich benutzt
_______________________

Sorry ich meine W ist -15, -10, 0, 10, 15

Edit (mY+): Mehrfachposts zusammengefügt. Verwende bitte den EDIT-Button.
16.03.2016, 22:06 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde, dass , denn nur diese Elemente können mittels in die Elemente erzeugen! Da die Betragsfunktion ist, können die anderen Elemente nie erreicht werden.

Im Gegensatz zu deiner Aussage find ich, dass die Betragsfunktion NICHT allgemein umkehrbar ist.
Vor allem generiert sie nicht wieder einen Betrag, sie heisst auch nicht wieder |z|.
In Teilbereichen kann man sie schon umkehren, wie es bei W und V geschehen ist.

Aber f(w) gibt es sehr wohl und diese ist sogar bijektiv.
Im Gegensatz zu Frage (1), denn f(z) ist surjektiv, aber NICHT injektiv. Kannst du dies begründen?

Sehr hilfreich kann es sein, wenn du dir mal ein Zuordnungs-Pfeildiagramm der ganzen Sache erstellst.

mY+
16.03.2016, 22:12 stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht also darum dass nur z definiert ist Ufer grösser kleiner null und ich das nicht uebertragen kann ? deswegen ist bei mir in W auch die negativen zahlen

Ufer = fuer
16.03.2016, 22:23 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Betragsfunktion erzeugt nur positive Zahlen, und dies sowohl von positiven wie negativen Argumenten, also sind alle Bilder positiv.
Wenn jetzt in der Bildmenge negative Zahlen auftauchen, so haben sie naturgemäß eben kein Urbild.

Also folgt daraus: Bei der Umkehrung, also wenn man von der Bildmenge wieder zur Urbildmenge zurück will, bekommt man von den positiven Bildern sowohl positve als auch negative Zahlen, wenn nicht vorher die Definitionsmenge entsprechend eingeschränkt wurde.
Von negativen Elementen der Bildmenge, die bei der Umkehrung ja als Urbildmenge fungiert, können dann KEINE Elemente erzeugt werden.

mY+
16.03.2016, 22:30 stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

f(z) ist nicht injektiv:
Nullstelle bei 0,0
z1= z2 und f(z1) = f(z2)
Kontrap.
z ungleich -z und f(z) ungleich f(-z)
z grösser nullstelle x=0
z =1
f(z) =1
z kleiner nullstelle x=0
z = -1
f(z) = 1
z ungleich -z aber f(z) gleich f(-z)
== nicht injektiv

Subjektiv:
f(z)= betrag z = y
z= betrag y = f minus 1 (y)
f minus 1 (y) = betrag (y)
jedes y nimmt einen Wert x an

Bsp. f minus 1 (4)= Betrag (4) = x
f minus 1 (-7) = betrag (-7)
16.03.2016, 22:47 stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

f minus 1 (-7) : gibt es nicht :-D
16.03.2016, 22:51 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, f(z) ist surjektiv (nicht subjektiv!) und nicht injektiv, passt.
Dies deswegen, weil in Elementen der Bildmenge mindestens ein Zuordnungspfeil endet, aber nicht höchstens einer (es sind ja ausser bei {0} 2 Pfeile), wie es bei Injektivität Bedingung wäre.

Bei f(w) ist die Definitiionsmenge W so eingeschränkt, dass eine Umkehrung eindeutig möglich ist, somit liegt Bijektivität vor.

mY+
16.03.2016, 22:51 stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry ich uebe das noch
minus 7 wird nicht angenommen weil ich für y nur Werte benutzen darf die aus f(z) kommen ??
16.03.2016, 22:54 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

.. und das sind eben nur positive Werte, wie schon festgehalten.

mY+
16.03.2016, 23:01 stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich bin dämlich Grad gemerkt : D
16.03.2016, 23:14 stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

U ist 0, 1, 2, 3
f(u) = betrag ( u) = U

V ist 0, 10, 15 für f(v)= betrag(v)= V
W ist 0, 10, 15
f(w) = betrag (w) für alle w >= 0

Ist das jetzt richtig?
16.03.2016, 23:16 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stefaniedel
Ja ich bin dämlich Grad gemerkt : D

Nein; das Thema ist nicht ganz einfach und da muss man sich erst hineindenken und wie schon bemerkt, üben..
Du solltest noch im Netz recherchieren, es gibt viele gute Informationen darüber.
Und wie gesagt, veranschauliche dir die Sachlage vielleicht mittels eines Zuordnungsdiagrammes ...

mY+
16.03.2016, 23:26 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stefaniedel
U ist 0, 1, 2, 3
f(u) = betrag ( u) = U
...

Nein, denn U ist die gegebene Urbildmenge (Definitionsmenge) = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
Du meintest f(U), diese ist {0, 1, 2, 3}, denn durch f werden nur positive Elemente erzeugt.

Zitat:
Original von stefaniedel
...
V ist 0, 10, 15 für f(v)= betrag(v)= V
W ist 0, 10, 15
...

Auch das stimmt nicht, V = {-10, -5, 0, 10, 15}, das steht schon so in der Angabe
W = {0, 10, 15}, weil nur diese Elemente als Urbild der Funktion f(w) von Elementen in V fungieren können.

mY+

EDIT: Blau: Korrigiert, sorry mein Versehen!
16.03.2016, 23:37 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, die Menge W stimmt! Ich hatte einen Schreibfehler, ich wollte dich nicht verwirren!
Schon korrigiert!

mY+
16.03.2016, 23:41 stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

ok... also:
v {-10, -5, 0 , 10, 15} fV { 0, 5, 10, 15 } da f(v) = |v|
W { 0, 5 , 10} da -15 nicht vorhanden, kein 15 ?
f(w)=w , 0 <= w <= 10
16.03.2016, 23:45 stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich werde das morgen nochmal machen und melde mich nochmal! danke für die hilfen!!
16.03.2016, 23:55 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke doch, von f(v) ist nicht die Rede, sondern von f(w)
V ist also die Bildmenge und nicht die Urmenge!
Und wie gesagt, ist W = {0, 10, 15}, also 15 ist wohl dabei, aber nicht 5 !

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mY+
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