Basiswechsel

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Basiswechsel
hallo,

aus wikipedia habe ich das verfahren zum basiswechsel abgeschaut. die basiswechselmatrix stelle ich damit auf nach dem schema (neue basis | alte basis).
dann kann ich die basis mal den vektor multiplizieren. das geht auch auf.

in einer mir vorliegenden aufgabe heißt es: eine abbildung wird durch eine matrix A gegeben. ich soll diese matrix bzgl einer anderen ggen basis S bestimmen. in der muslterlösung wird nun das inverse von S berechnet und anschließend . das soll das ergebnis sein.

wie kann ich diese beiden verfahren zusammen bringen? einmal geht es um eine matrix, einmal um einen vektor. oder was ist es sonst?

vielen dank!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht um die "Basiswechselmatrix" und um den "Basiswechsel bei Abbildungsmatrizen" - sagt wikipedia. Steht doch alles da, hast du sicher auch (viel besser) in der Vorlesung gelernt. Wo ist das Problem, was ist die Frage ? Stört es dich, dass Wikipedia T statt S sagt ?
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

wenn meine basiswechselmatrix ist, dann müsste ich nach wiki rechnen. in meiner musterlösung wird aber diese ergebnis noch einmal mit S multipliziert. wahrscheinlich stehe ich nur mächtig auf dem schlauch...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

S ist eine Basiswechselmatrix, A ist eine Abbildungsmatrix, S^{-1}AS stellt den zu A gehörigen ENDOMORPHISMUS in einer anderen Basis dar. Für eine andere Basis braucht man einen Basiswechsel. Warum das so ist, steht bei Wikipedia ... bitte lesen.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

für den basiswechsel bei einem einfachen vektor v rechne ich dann Tv, bei einer abbildungsmatrix A rechne T^{-1}AT, wenn T basiswechselmatrix. korrekt? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Einfache Vektoren kenne ich nicht.
Jeder Vektorraum hat eine Basis, insbesondere hat jeder endlichdimensionale Vektorraum der Dimension n eine Basis mit n Elementen, und jede Basis hat n Basisvektoren. Nimmt man zwei (geordnete) Basen mit je n Basisvektoren, dann gibt es genau eine lineare Abbildung T, die den Basisvektoren der einen Basis die Basisvektoren der anderen Basis zuordnet, das ist ein Basiswechsel. Zu einem Endomorphismus gehört bezüglich der einen Basis die Matrix A, zur anderen die Matrix B=T^{-1}AT.
Nicht viel komplizierter, sondern eine selbstverständliche Erweiterung für einen Homomorphismus, denn dann braucht man zwei Vektorräume, 4 Basen und zwei Basiswechsel, also ist B=S^{-1}AT - das steht alles zusammen mit hübschen Diagrammen bei Wikipedia.
 
 
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