Satz von Cayley-Hamilton für Diagonalmatrix beweisen

22.03.2016, 11:12	Smoen	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Cayley-Hamilton für Diagonalmatrix beweisen Meine Frage: Hallo zusammen. Ich soll beweisen, dass der Satz von Cayley-Hamilton für Diagonalmatrizen gilt. Meine Ideen: Dafür habe ich erst mal das char. Polynom gebildet, das ja = $\begin{eqnarray} (t-\lambda_{1})\cdot \left(...\right) (t-\lambda_{n}) \end{eqnarray}$ ist. Weiter bin ich aber nicht gekommen. Mir fehlt da gerade etwas der Ansatz. Danke für jede Hilfe.
22.03.2016, 12:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt eine Basis aus Eigenvektoren. Stelle einen allgemeinen Vektor v in dieser Basis dar, und wende $\begin{eqnarray} \chi(A) \end{eqnarray}$ auf v an. (Bei mir kommt 0 heraus )
22.03.2016, 14:48	Smoen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm irgendwie hab ichs noch nicht ganz. Also ich hab jetzt die Basis aus Eigenvektoren, das müsste die Standardbasis (e1...en) sein oder? Ein Vektor v wäre ja dann in der Form $\begin{eqnarray} a_1e_1+...+a_ne_n \end{eqnarray}$ . Der Satz von Hayley-Hamilton ist doch $\begin{eqnarray} p(A) = A^n+c_{n-1}A^{n-1}+...+c_1A+c_0E=0 \end{eqnarray}$ wobei die c ja vom charakteristischen Polynom $\begin{eqnarray} p^t +c_{n-1}t^{n-1}+...+c_1t+c_0 \end{eqnarray}$ sind. So ist jedenfalls die Definition in der Aufgabenstellung. Der Satz funktioniert doch nur für n x n Matrizen? Oder meintest du mit Vektor eine n x n Matrix, deren Spalten die Basisvektoren sind? Dann wäre ich ja irgendwie immer noch nicht weiter, weil ich ja keine Ahnung habe, was die c sind. Verstehe nicht ganz wie ich p(A) auf v anwenden kann. Aber danke schonmal.
22.03.2016, 14:53	Smoen	Auf diesen Beitrag antworten »
*Cayley-Hamilton natürlich. ich muss meine Anmeldedaten wieder finden.
22.03.2016, 18:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum möchtest Du jetzt das Polynom $\begin{eqnarray} p(t)=\sum_{k=0}^nc_kt^k \end{eqnarray}$ schreiben ? Du hast doch schon den für diesen Zweck viel besser geeigneten Ansatz $\begin{eqnarray} p(t)=\prod_{i=1}^n(t-\lambda_i) \end{eqnarray}$ . Die Basis aus Eigenvektoren kann nicht immer die Standardbasis sein. Die Standardbasis gibt es nur im Vektorraum $\begin{eqnarray} V=K^n \end{eqnarray}$ . Eine Basis eines allgemeinen Vektorraums V aus Eigenvektoren ist von der linearen Abbildung abhängig, zu der die diagonalisierbare Matrix A gehört. Du darfst diese Basis gern so nennen, wie du es getan hast, dann ist tatsächlich $\begin{eqnarray} v=\sum_{j=1}^na_je_j \end{eqnarray}$ ein allgemeiner Vektor. Jetzt berechne $\begin{eqnarray} p(A)(v) \end{eqnarray}$ (mit diesem Polynom und diesem Vektor), es sollte der Nullvektor herauskommen, dann bist Du fertig.

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