Mandelbrotmenge - Flächeninhalt

23.03.2016, 17:10	Prometheus96	Auf diesen Beitrag antworten »
Mandelbrotmenge - Flächeninhalt Meine Frage: Hallo, Im Internet habe ich gelesen, dass der exakte Wert für den Flächeninhalt der Mandelbrotmenge $\begin{eqnarray} \sqrt{6\pi -1}-e \end{eqnarray}$ beträgt. Doch dafür habe ich keine Herleitung gefunden. Kann mir jemand die Herleitung schicken? Meine Ideen: Ich habe keine Ideen
23.03.2016, 17:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Wikipedia-Artikel (unter "Geometrische und mathematische Eigenschaften"), von Wikipedia selbst allerdings als nicht genügend recherchiert gekennzeichnet, sagt, der Flächeninhalt sei nicht bekannt, und gibt als numerischen Wert 1,50659177 an. Dieser Wert stimmt mit deinem in den ersten sechs Dezimalen nach dem Komma überein. Inwieweit der Wikipedia-Artikel auf dem neuesten Stand ist, kann ich nicht beurteilen.
23.03.2016, 18:29	Prometheus96	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich mich auch gefragt. Auf der Internetseite (mathworld.wolfram.com/MandelbrotSet.html) ist unter Punkt (4) eine Formel angegeben. Allerdings verstehe ich nicht wie man auf den oben genannten Ausdruck kommt. Kann jemand die Summe umformen, sodass der Wert oben entsteht?
24.03.2016, 09:59	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Dort steht doch auch, dass ein geschlossener Ausdruck für die Summe nicht bekannt ist. Der obige Ausdruck beruht vermutlich auf einer Spekulation, bei der man versucht hat, den numerischen Wert mittels einer Formel möglichst gut zu treffen. Der Formelwert liegt allerdings außerhalb des Toleranzbereichs der numerischen Flächenberechnungen. Die Formel ist daher ziemlich sicher nicht korrekt. Einen genaueren numerischen Wert als in der deutschen Wiki und als bei Wolfram findet man in der englischen Wiki.
24.03.2016, 10:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Erinnert mich an diese Vermutung, die sich dann auch "numerisch" widerlegen ließ.
24.03.2016, 12:56	Prometheus96	Auf diesen Beitrag antworten »
Die obige Formel kann natürlich reine Spekulation sein. Dennoch ist der numerische Wert nur ein Näherungswert, egal ob er größer oder kleiner ist als der tatsächliche Wert. In diesem Video (en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set , [rechts, das erste Video]) sieht man, wie nach unendlichen Iterationen der schwarze Anteil verschwindet. In der Realität bricht man natürlich nach n Iterationen ab, wodurch also noch ein schwarzer Teil übrig bleibt. Ist die Toleranz dadurch begründet oder denkt man, man hätte Fehler beim Zählen der Pixel gemacht?
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24.03.2016, 13:18	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man Pixel zählt, erhält man immer einen etwas zu hohen Wert für die Fläche, weil man die Iteration irgendwann abbrechen muss. Eine andere Unsicherheit resultiert aus der endlichen Rechengenauigkeit. Dadurch kann es passieren, dass ein Punkt im Randbereich der Fläche, der zur Fläche gehört, aus ihr rausrutscht und umgekehrt. Um zu sehen, wie die Autoren der numerischen Rechnungen die von ihnen angegeben Toleranzen bestimmt haben, müsste man in die Originalliteratur gehen. Mir erscheint der Abstand zu dem Formelwert zu groß, da ich davon ausgehe, dass die Autoren ihre Toleranzen nicht leichtfertig zu eng angegeben haben. Aber selbstverständlich sind auch die angegebenen Toleranzen mit einer Unsicherheit behaftet.

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